| 研究課題/領域番号 |
26870696
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| 研究機関 | 長浜バイオ大学 |
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研究代表者 |
西郷 甲矢人 長浜バイオ大学, バイオサイエンス学部, 准教授 (80615154)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 量子古典対応 / 逆正弦法則 / 量子確率論 / 量子ウォーク / 直交多項式 |
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| 研究実績の概要 |
本研究課題において、三点もの新規な進展があった。
第一に、酒匂宏樹氏（新潟大学）との共同研究を通じて、「量子古典対応」の数理の一般化という視座にもとづいて、「漸近的に周期的」なヤコビ列を持つ直交多項式の漸近極限＝「古典極限」の形を同定し、その記述における「逆正弦法則」の普遍的な役割を発見した。
第二に、第一の点の証明の過程で、「一般化された量子ウォーク」の概念を導入し、研究を進めている。この「一般化された量子ウォーク」自体、量子確率論の枠組みにおいて量子ウォークをとらえるための基礎概念となるとともに、量子確率論と縁の深い作用素環論や大域的な幾何学・グラフ理論とのかかわりを一挙にとらえる可能性がある。こうして、逆正弦法則と量子ウォークのかかわりの本質が見えてきた。これも酒匂宏樹氏（新潟大学）との共同研究である。
第三に、量子ウォークとのかかわりを追求するなかで、古典ランダムウォークのこれまで知られていない性質の研究も進んだ。具体的には、今野紀雄氏（横浜国立大学）と酒匂宏樹氏との共同研究により、「終端が正」の対称ランダムウォークの極限（つまり終端が「正」のブラウン運動の極限）に、マルチェンコ・パスツール分布が登場することをつきとめた。マルチェンコ・パスツール分布は、ランダム行列の理論において根本的な役割を果たす分布であり、同時に「自由確率論」のおける「ポアソン分布」にあたる役割を果たすものでもある。これが逆正弦法則とのかかわりで登場したことにより、逆正弦法則のランダム行列や自由確率論における役割、さらには古典確率論と量子確率論との新たなつながり＝「量子古典対応」の新形態も構想できるようになった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
三点もの、当初予想のできなかった新規な進展があり、当初の計画以上に進展しているといえる。
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度進展した酒匂宏樹、今野紀雄両氏との共同研究を継続する。とくに、一般化量子ウォークの概念の位置づけと、その物理的な意味づけを洞察する。一方で、グラフ構造を介してグラフゼータや、さらには数論とのかかわりを模索する。遠大な目標としては、いわゆる「佐藤予想」への量子確率論的なアプローチを、量子古典対応の数理に基づいて考察する。そのために、整数論の専門家たちとの共同研究をすでに開始している。この共同研究をすすめることにより、本課題のかかげた、「数学の様々な局面に逆正弦法則があらわれる理由」の探究を大いに推進できると考えられる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
昨年度は論文執筆に傾注し、海外出張等できなかったが、今年度はその分多めに出張を行うことができた。５９９１円の差額が生じたのは単に一種の「端数」が生じたものであり、次年度に回して活用しようとしたものである。
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| 次年度使用額の使用計画 |
今年度同様、得られた成果を海外を含めて積極的に発表するとともに、国内研究者との研究打ち合わせを継続して行うことで、完全に使用しきる予定である。
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