| 研究実績の概要 |
今年度は, 対数的標準束が正値性を持つ射影代数多様体上の負のリッチ曲率を持つ完備ケーラー・アインシュタイン計量に対し, その境界挙動を正値性の境界での退化の観点から考察した. 特に, その挙動に境界上の一般化されたケーラー・アインシュタイン計量が関わると予想しており, その解決を目指した. その結果, 次のような部分的な解決を得たので, それらを学会やセミナーで講演し, また論文としてまとめ投稿した.
まず境界が一般型の場合は, 一般化されたケーラー・アインシュタイン計量とは特異ケーラー・アインシュタイン計量である. この場合の上述の予想は, 完備ケーラー・アインシュタイン計量は境界に接する方向では特異ケーラー・アインシュタイン計量に漸近する, となるが, これを解決することができた. 得られた漸近の仕方は, 特異性のある部分の外では滑らかな収束, 全体としてはカレントの意味での収束である. この成果はリッチ流を用いてこれらの計量を近似することで得られた. 現在はその成果を, 対応する退化型複素モンジュ・アンペール方程式を多重ポテンシャル論的手法で解析することで, 直接的に導くことを試みている.
次に一般型と両極端な関係にある, 境界がカラビ・ヤオの場合を考察した. その場合の予想は, 完備ケーラー・アインシュタイン計量はゼロに漸近する, となる. この場合の典型的な例は複素双曲多様体のトロイダルコンパクト化であるが, それに対しては予想が正しいことをMok氏の観察をもとに示した. 一般的な場合が, これからの課題である.
その一方で, 測度双曲多様体上の標準束の正値性に関する具体的な研究成果を得ることができなかった. しかし上で得られた成果は測度双曲性と関わるものなので, 測度双曲性の研究の発展へ今後つながると信じている.
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