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GをS^3=SU(2)の有限部分群(即ち、複多面体群)、WGをendがS^3/GX1Rと同相である、self-intersectionformが正値既約であるような単連結4次元開多様体とするとき、eta不変量及びmomentmapを用いてGとWG上の重力インスタントン及びWGのtopology(あるいはWGのself-intersectionform)との関係を与えることを目標としていた。現時点では当初の目標は達成できていないが、momentmapに関しては、momentmapと楕円型作用素のAtiyah-Singer Lefschetznumbersand inductionmaps TokyoJ.Math.Vol.11-2 1958 P289-302)で与えた。それによる楕円型作用素のLefschetz数をmomentmapから計算する公式を与えた。これは特性数を曲率から計算するよく知られた公式の拡張となっている。また、eta不変量に関しては開多様体WG上の重力インスタントンに対応する閉多様体W上のEinstein-Kahler計量の存在に関して、存在のobstrnctionであるWのFutaki不変量とeta不変量との関係を与え、またWのFutaki不変量をWの自己同型の不動点から計算する公式を与えた。(AFutaki-K.Tsubol Eta invariantsand Automorphisms of Compact Complex Manifolds to appear in Advinpure and Appl.Math)これによるWの自己同型群が離散的であってW上に正則ベクトル場が存在しない場合にもWのFutaki不変量の計算が可能となった。この結果を用いてcalabiの予想(即ち、正値な第1Chern類を持ち自己同型群が離散的なCompact Kahler munifoldはEinstein-Kahler計量を持つーという予想)の反例が得られる可能性があるが、それについては未だ未完成である。
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