| 研究概要 |
D.E.Enrightは、1958年に次のことを証明した。
Fを自由群、R、SをFの正規部分群、Fの整群環〓Fの西側イデアル 〓=〓F(R-1)、〓=〓F(S-1)について、
F〓(1+〓〓)=[R〓S、R〓S]。
1975年、G.M.Bergman-W.Dicksは、上記の結果を次のように一般化した。
Gを任意の群、H、KをGの正規部分群、Gの整群環〓Gの西側イデアル Δ(G,H)=〓G(H-1)、Δ(G,K)=〓G(K-1)について、
G〓(1+Δ(G,H)Δ(G,K))=[H〓K,H〓K]。
これらの結果を次のように一般化する。
Fを自由群、〓Fの添加イデアルf=〓F(F-1)に含まれる西側イデアル 〓、bについて、
F〓(1+〓b)=[F〓(1+〓〓b)、F〓(1+〓〓b)]。
Gを任意の群、〓Gの添加イデアルΔ(G)に含まれる西側イデアル 〓、bについて、G〓(1+〓)・G〓(1+b)=Gならば、
G〓(1+〓b)=[G〓(1+〓〓b)、G〓(1+〓〓b)]。
この結果によって、次元部分群問題に対して、かなり一般的なことが得られるものと思われる。
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