| 研究概要 |
Gを群とし、G=G_12G_22…2G_n2G_<n+1>2…をGの降中心列とする.ZGを整数環Z上の群Gの群環とし、△(G)をZGの添加イデアルとする.ZGЭα,βについて、(α,β)=αβ-βαとして、△(G)のLie積△^<(n)>を次のように帰納的に定義する。
△^<(n)>(G)=(△^<(n-1)>,△(G))ZG=(α,β)|αε△^<(n-1)>(G),βε△(G)〉ZG
そして、Gの正規部分群D_<(n)>(G)をD_<(n)>(G)=GΩ(1+△^<(n)>(G))と定義し、Gの第nLie次元部分群と呼ぶ。Lie次元部分群問題とは、D_<(n)>(G)を特徴づけること,D_<(n)>(G)の構造を決定することである。
Lie次元部分群について、今までに得られている主な結果は
定理1 (R Sandling) 1≦n≦6なるすべてのnに対して、
D_<(n)>(G)=Gn
この本研究では、定理1を拡張するために、まず、次のことを得た。
定理2 GをG_2/G_3が有限指数であるような群とすれば、
rank_Z△^<(n)>(G)=rank_Z△^<(2)>(G)、 ^bn≧2
とくに、Gが有限群ならば、
rank_Z△^<(t)>(G)=|G|-1
rank_Z△^<(n)>(G)=|G|-|G/G_2|=|G/G_2|(|G_2|-1)
次に、D_<(n)>(G)を既知として、D_<(n+1)>(G)の構造を規定するものとして、次を得る。
定理3 各n≧1について、準同型Ψ_n:G_n/G_<n+1>→△^<(n)>(G)/△^<(n+1)>(G)が存在して、
G_nΩ(1+△^<(n+1)>(G)=D_<(n+1)>(G)〈=〉Ψ_n;単射
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