| 研究概要 |
与えられた2階の偏微分方程式Gi(x^^<・・>、x^^・、t)=O(i=1、…、n)、x=(x_1(t)、…、x_n(t))がオイラー・ラグランジュ系〔L〕_i=d(σL/αx^^・_i)/dt-σL/αx_i=O、L=L(x^^・、x、t)となるための必要十分条件であるヘルムホルツの条件を特にC[L]=C(x^^・、x、t){d(σL/αx^^・)/dt-σL/αx}=Oに適用し、運動方程式〔L〕=Oから保存則を導出するための次の定理を得た。
定理 与えられたラグランジアンL(x^^・、x、t)又は特にe^<-9t>F(x^^・、x)、ρ=定数、に対して、偏微分方程式
x^^・σ^2L/σx^^・σx+σ^2L/σx^^・σt-σL/σx)(σC/σx^^・)-x^^・(σ┣^<2┫>L/σx^^・)(σC/σx)-(σ^2L/σx^^<・^2>)(σC/σt)=0
又は特に
(x^^・σ┣^<2┫>F/σx^^・σx-ρσF/σ^^・x-σF/σx)(σC/σx^^・)-x^^・(σ^2F/σx^^・)(σC/σx)-(σ^2F/σx^^<・^2>)(σC/σt)=0
の解C=C(x^^・,x,t)はそれぞれオイラー・ラグランジュ方程式〔L〕=0又は〔e^<-ρt>L〕=0の保存則dc/dt=0を与える。
この定理を最適成長モデルに用い
(i)ラムゼイ型のモデルL=e^<-ρt>LTT(C)、C=g(x)-x^^・
(ii)リバイアタン・サミュエルソンのモデルL=e^<-ρt>LT(C)、C=f(x^^・,x)、更に特にL=e^<-ρt>(-1/2x^^<・^2>-ax^^・x-1/2x^2)
の動学的対称性よりそれぞれの総生産関数C型を決定しそれに対応する保存則を導出した。この手法は、積分の対称性に関するネーターの定理より得られるすべての保存則で含む更に一般的なものである。今後、この定理を更に一般的な形に改良し、物理学や工学における偏微分方程式から保存則を導出するための有効な道具としてゆきたい。
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