2002 Fiscal Year Annual Research Report
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01F00178
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
俣野 博 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
婁 本東 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 外国人特別研究員
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| Keywords | 平均曲率流方程式 / 周期的進行波 / 空間(非)一様、異方性 / 特異極限問題 / 漸近解析 / 帯状領域 |
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| Research Abstract |
今年度は次の成果を得た。
平面上の一般的な曲率流方程式について、閉曲線の凸性を保存する条件が見つかった。よく分かるように、曲率流方程式(V=κ:Vは曲線が法線方向に動く速度、κは曲線の曲率)を満たす平面閉曲線は、凸の初期値から凸性を保存し、一点に縮む。この性質は空間一様、異方性を持つ平均曲率流方程式(V=F(κ,ν)、νは曲線の法線方向)に対しても正しいのであるが、空間非一様の方程式に対しては正しくない(簡単な反例がある)。婁はまず方程式V=κ+▽h(x,y)・ν (hはR^2の関数)に対して閉曲線の凸性を保存する条件を見つけた。さらに我々はこの結果を一般的な'(空間非一様、異方性を持つ)曲率流方程式(V=F(κ,ν,x,y))に拡張した。具体的には凸の閉曲線を初期値として曲線がずっと凸性を保存するための十分条件はHess_<x,y>Fが非負定値であることを示した。
最近、俣野と婁は、境界が鋸の刃状の形状をした平面内の帯状領域における曲率流方程V=κ+Aを考えた。Aが十分大きくであれば、この方程式は「周期的進行波」と呼ばれる解をもつ。この周期的進行波の平均速度が、境界の形状にどのように依存するかを調べるのは応用上も重要な問題であるが、これまで全く結果がなかった。俣野は婁と共同で境界の鋸の刃の周期を限りなく小さくしていったとこの極限における平均速度を計算した。これは通常の"homogenization"の手法が全く通用しない特異極限問題であるが、詳細な漸近解析を行うことにより、極限速度を決定することに成功した。現在、この手法をより一般の形状の周期的境界を持つ帯状領域に拡張途上である。
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[Publications] Bendong Lou (婁 本東): "Singular limit of a $p$-Laplacian reaction-diffusion equation with a spatially inhomogeneous reaction term"Journal of Statistical Physics. 110(1/2). 377-383 (2003)
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[Publications] Bendong Lou (婁 本東): "Existence and order-stability of equilibrium solutions for higher order parabolic equations"Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems Series A : Mathematical Analysis. (発表予定).
