P進ピリオドとP進L函数のS=Oでの微分の関係について

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 02J01950
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 加塩 朋和 京都大学, 大学院・理学研究科, 特別研究員(DC1)
• Keywords: P進ピリオド / P進L函数 / P進多重ガンマ函数

Research Abstract

CMピリオドと多重ガンマ函数,及び総実代数体上のL函数のs=0での微分との関係の考察とp進化について研究を行った.そのためp進L函数のs=0での微分をp進多重ガンマ函数で表した式の精密化を行った.この結果は古典的な(複素数での)結果を非常によく踏襲している形であり,いくつかの自然な性質を持っていた.更にこの式の利用を中心に研究を行った.主な結果は次の二つである.
1.すでに我々は簡単な吉田教授の予想のp進化を証明している.更に吉田敬之教授との共同研究において自然なp進CMピリオドの定義をし,今までの結果及び数値計算からp進の場合の一般形を予想した.すなわちFを総実な体,KをF上abelianなCM体とする.G=Gal(K/F)と置き,τ∈Gに対して
【numerical formula】
ただしG^^^_はGのoddな指標の全体,J_KはKのCへの同型写像の全体,L_pはp進L函数である.
2.K/Fはabelianであるとし,その法をf_0と置く.f_0とpは互いに素であるとし,f=f_0*【product】_<p|(p)>pと定める.χをf_0を法とするprimitive, oddな指標とする時,次の予想がある.L_<p,f>(s,χθ_p)のs=0での位数=#{p|(p)|χ(p)=1}.ただし#は集合の元の個数を表す記号とする.(この予想はもっと精密な形を持つ.)自明な結果として次がある.L_<p,f>(s,χθ_p)のs=0での位数=0⇔#{p|(p)|χ(p)=1}=0.更に次の事が証明できた.L_<p,f>(s,χθ_p)のs=0での位数【greater than or equal】2←#{p|(p)|χ(p)=1}【greater than or equal】2.