結び目の外部に埋め込まれた曲面とはめ込まれた円板の研究

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 02J07265
• Research Institution: Hiroshima University
• Principal Investigator: 松田 浩 広島大学, 大学院・理学研究科, 助手
• Keywords: (1,1)-結び目 / フレアーホモロジー

Research Abstract

今年度は(1,1)-結び目の結び目フレアーホモロジー群の計算方法についての研究を行った。特に(1,1)-結び目の補空間のヘガード分解を与えるヘガード曲面からその結び目のフレアーホモロジー群を計算する具体的な方法について研究した。
3次元球面内の結び目に対して定義される不変量の1つとしてジャボー氏とオズバス氏は結び目フレアーホモロジー群と呼ばれる不変量を2002年に発表された論文の中で定義した。この不変量は結び目の種数を決定し4次元種数、結び目解消数などに下からの評価を与えるということが彼らの一連の論文の中で示されている。そして彼らはいくつかの例についてこの不変量を標数2の体を係数として計算している。しかし、この計算の中であらわれるモジュライ空間の向きについては全く考察されていない。
そこで3次元球面内の(1,1)-結び目についてこのモジュライ空間の向きについての考察をおこない、これらの向きを与える具体的な方法とこれらの結び目に対するフレアーホモロジー群を整数を係数として計算する方法の1つを提案した。特に(1,1)-結び目でありかつ交点数が10以下の結び目と(2,奇数,奇数)型のプレッツェル結び目についてそれらの結び目フレアーホモロジー群を実際に整数係数で計算した。この計算の結果、(2,奇数,奇数)型のプレッツェル結び目についてその4次元種数、結び目解消数を決定することができた。
今後はここで開発した計算方法を(1,1)-結び目をその真部分集合として含むトンネル数が1の結び目に対しても適用できるようにさらに拡張していきたい。

Research Products

• [Publications] 松田 浩: "On the additivity of the clasp number of knots"Osaka Journal of Mathematics. 40・4. 801-833 (2003)
• [Publications] 松田 浩: "Small knots in some closed Haken 3-manifolds"Topology and Its Applications. 135・1-3. 149-183 (2004)