2003 Fiscal Year Annual Research Report
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02J07271
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
成田 宏秋 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 特別研究員(PD)
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| Keywords | 原始テータ関数 / メタプレクティック表現 / 次元公式 / 非中心的べき単元の寄与 / 概均質ベクトル空間のゼータ積分 / Folklore予想 |
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| Research Abstract |
(1)これまで研究を続けてきた、符号(1,q)のシンプレクティック群上の四元数離散系列に属する保型形式について、「原始テータ関数」の理論、特にその有限素点の理論を整備するという計画であった。しかしそのためには、中心の次元が1次元より大きいハイゼンベルグ群のユニタリー表現のシュレディンガー模型と格子模型、及びそれに付随するメタプレクティック表現の理論を整備しなければならないことなどが認められた。即ち上記の理論の構成以前の基礎理論のレベルでまだまだ課題が山積みであり更なる研究の時間を要することが分かった。今年度のこのテーマの研究に関しては、満足の行く進展が得られなかったので引き続き来年に持ち越したい。
(2)もう一つの研究である次元公式の非中心的べき単元の寄与についてだが、一般の可積分離散系列表現に属する保型形式について、和と積分の順序交換の問題を無視するとそれが概均質ベクトル空間のゼータ積分で書けることが分かった。べき単元の寄与をこのようにゼータ積分で捉えるという結果は中心的べき単元の寄与については既に知られているが、この結果によりそれが中心的べき単元の寄与のみならず、べき単元の寄与一般について成立するものであるかとが分かった。更に突っ込んだ言い方をすると次元公式のべき単元の寄与すべてについて、その定性的構造が概均質ベクトル空間のゼータ積分で統一的に捉えられることが分かったことになる。
しかも特に、I型,III型,IV型の管型領域上の正則保型形式の場合は、非中心的べき単元の寄与を表示するゼータ積分に現れるテスト関数が消えることを証明できた。これは次元公式の非中心的べき単元の寄与は消えるであろうという"Folklore予想"を、(証明にはまだ至っていないものの)部分的ながら肯定的に証拠付ける結果と言える。
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