2003 Fiscal Year Annual Research Report
Project/Area Number |
03F00020
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Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
Principal Investigator |
村上 斉 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助教授
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Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
NAFAA Chbili 東京工業大学, 大学院・理子学研究科, 外国人特別研究員
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Keywords | 3次元多様体 / 絡み目 / 周期性 / Alexander多項式 / Casson-Walker-Lescop不変量 |
Research Abstract |
p≧2を整数とし,Gを位数pの有限巡回群をする.Gが向き付けられた閉3次元多様体Mに,円周を不動点として半自由に働くときに限り,Mは周期的であると言う.この研究の目的は3次元多様体の周期性の判定方法を見つけることである.具体的には,この20年間に発見された位相不変量を使って,3次元多様体が周期的になるための必要条件を与えることである. 3次元球面内の絡み目Lは,z車由の周りの位数pの標準的な回転に関して不変であるときに限りp-周期的であると言う.Lの商絡み目の各成分と回転軸の絡み数がpを法として0であるとき,絡み目Lは強p-周期的であると言う.強周期的絡み目と周期的3次元多様体の関係はPrzytyckiとSokolovによって与えられている.つまり,3次元多様体がp-周期的であるための必要十分条件は,3次元球面から強p-周期的絡み目の手術で得られることである. 本研究で得られた最初の結果は,絡み目が強p-周期的となるための必要条件である.つまり,絡み目Lが素数p-に対して強p-周期的なら,乙のConway多項式の2番目の係数がp-を法として0となる. Mを,3次元球面から枠付き絡み目Lの手術で得られた3次元多様体とする.Lescopは,Casson-Walker不変量を,Lの部分絡み目のAlexander多項式,絡み数,および枠で表す公式を得た.この式を強周期的絡み目に適用することにより,周期的3次元多様体のCasson-Walker-Lescop不変量は,(p-を法として)Lの絡み行列の符号数と1次元ホモロジー群の位数にしかよらないことがわかる.Betti数が0でない周期的多様体に限れば,Casson-Walker-Lescop不変量はp-を法として0となることがわかる.その応用として,3次元トーラスはすべての素数p>3に対して周期的ではないことがわかる.
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Research Products
(7 results)
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[Publications] N.Chbili: "Quantum invariants and finite group actions on 3-manifolds"Topology and Its Applications. 136. 219-231 (2004)
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[Publications] N.Chbili: "A new criterion for knots with free periods"Annales de la Faculte des Science de Toulouse. 1. (2004)
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[Publications] N.Chbili: "Symmetries en dimension 3, une approche quantique"Cubo Math.Eud.. 6-2. (2004)
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[Publications] N.Chbili: "The Conway polynomial of strongly periodic links"the proceedings of the workshop "Topology of Knots VI". (To appear). (2004)
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[Publications] N.Chbili: "The Casson-Walker-Lescop invariant of periodic three-manifolds"preprint. (2004)
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[Publications] H.Murakami: "Some limits of the colored Jones polynomials of the figure-eight knot"arXiv:math.GT/0308002. (2003)
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[Publications] H.Murakami, Y.Yokota: "The colored Jones polynomials of the figure-eight knot and its Dehn surgery spaces"arXiv:math.GT/0401 084. (2004)