コロンボの理論の微分方程式への応用と一般関数の空間の拡張について

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 03J00097
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: 出口 英生 筑波大学, 数学系, 特別研究員(PD)
• Keywords: 放物型方程式 / 初期値問題 / 不連続な非線形項 / 存在性 / 一意性 / 非一意性 / 漸近挙動

Research Abstract

木年度のテーマは,不連続な非線形項を持つ放物型方程式に対する初期値問題の連続解の研究である.このような問題は,ゲーム理論における最適反応動学のモデルとして生じる.最適反応動学は,一部のプレイヤーが現状に対する対する最適な戦略をとることで社会が動いていくという動学である.このモデルにおいて,解はプレイヤーの集団の戟略分布を表す.
簡単のため,最適反応動学のモデルの場合における成果を述べる.解の存在性と一意性に関して,次のような結果を得た.
(1)最大連続解と最小連続解が存在する.
(2)初期値のあるクラスに対しては,解の一意性が成り立ち,初期値がこのクラスに属さない場合,一般に,最大連続解と最小連続解は異なる.
これらの結果は,現在,雑誌「Nonlinear Analysis : Theory, Methods ＆ Applications」に投稿中である.
また,解が一意でない場合の0と1の間に値をとる最大連続解と最小連続解の漸近挙動を研究した.具体的な成果は次の通りである.
(3)ある点αで非線形項の不述続点λと一致し,それ以外の点では,λより小さいような初期値のあるクラスに対して,λに対して初期値の積分の値が十分小さいならば,時間無限大において,最大連続解は0に漸近収束する.
(4)同様な初期値のクラスに対して,初期値が点αのある近傍上でλに十分近いならば,時間無限大において,最大連続解は1に漸近収束し,最小連続解は0に漸近収束する.
これらの結果は,現在投稿するために準備中である.