無限自由度の可積分系の理論とその応用

1992 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 04245108
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 上野 健爾 京都大学, 理学部, 教授 (40011655)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 松本 尭生 広島大学, 理学部, 教授 (50025467) ; 伊達 悦郎 大阪大学, 基礎工学部, 教授 (00107062) ; 三輪 哲二 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (10027386) ; 柏原 正樹 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (60027381) ; 神保 道夫 京都大学, 理学部, 教授 (80109082)
• Keywords: 無限自由度の可積分系 / 量子群 / 可解格子模型 / 共形場理論 / 写像類群 / 結び目 / 数論的多様体 / ヤン・バクスター方程式

Research Abstract

無限自由度の可積分系の理論は数学と理論物理学との交流によって生まれ進展している理論である。近年、数学の種々の分野と思いもかけない結びつきを見せ、数学の新しい進展の原動力になっている。本研究はこの観点から、計画研究の三輪班、松本班と密接に連絡をとって研究を行なった。今年度に得られた主要な結果は次の通りである。柏原による量子群の結晶基底の理論は可解格子模型の理論に応用され、柏原、三輪を中心とするグループによって結晶基底と頂点模型との関係の研究が行なわれ、可解格子模型の一点函数が量子群の表現論から統一的に解釈できることが示された。また神保、伊達、三輪を中心とするグループによってこの観点はさらに追及され、量子群と可解格子模型の構造との関係が明らかにされつつある。さらに上野喜三雄のグループは可解格子模型の理論で重要なヤン・バクスター方程式の楕円函数解の研究を行ない、ヤン・バクスター方程式のスペクトルパラメータの意味、量子群との関係についての理論を深めつつある。可解格子模型との関係の深い共形場理論では上野、土屋、浪川を中心とするグループがアーベル的共形場理論と任意レベルのテータ函数との関係を見出し、数論的多様体の理論との関係を明確にする一方、非アーベル的共形場理論の積分表示の問題への応用を可能にした。幾何学的観点からは河野俊丈は写像類群の表現から得られる3次元多様体の不変量に関して新して知見をを得、森田茂之は写像類群の構造を詳細に研究して、曲面束の二次特性類を定義することに成功した。深谷賢治は境界付3次元多様体上にフレアホモロジーを定義し、さらに場の理論と低次元多様体の構造との関連について考察を進めている。また松本を中心とするグループは結び目理論を可積分系の理論から考察し興味深い結果を得た。
これらの結果は次年度の研究で更に深い発展が期待される。

Research Products

• [Publications] M.Jimbo: "Correlation functions of the XXZmodel and for △<-1" Physics Letter. A168. 256-263 (1992)
• [Publications] M.Kashiwara: "Affine crystals and verlex models" International J.of Modern Physics. A7. 449-454 (1992)
• [Publications] T.Miwa: "Diagonalization of the XYZ Hamiltonian by vertex operators" Commun.Math.Phys.151. 89-153 (1993)
• [Publications] E.Date: "Crystal base and q-vertex operators" to appear in Commun.Math.Phys.
• [Publications] T.Matsumoto: "Lustermik-Schnirelmann category of a fibered knot complement with fiber a puncutured torus" Knots 90. 1. 407-415 (1992)
• [Publications] K.Ueno: "Lectures on non-abelian conformal field theory" to appear in Queen's Lecture Notes.