2004 Fiscal Year Annual Research Report

双曲結び目上のレンズ空間,ザイフェルト多様体を生じるデーン手術に関する研究

Research Project

Project/Area Number	04F04787
Research Institution	Nihon University
Host Researcher	茂手木公彦日本大学, 文理学部, 教授
Foreign Research Fellow	ARNAUD DERUELLE 日本大学, 文理学部, 外国人特別研究員
Keywords	hyperbolic knot / Dehn surgery / lens space / Seifert fiber space / thin position / spine / primitive / primitive construction / primitive / Seifert construction
Research Abstract	Thurstonは双曲Dehn手術理論により、もとの結び目が双曲結び目の場合、有限個の手術を除きDehn手術後も双曲構造をもつことを示した。どのような状況でその有限個の非双曲Dehn手術が生じるのであろうか。本研究では非双曲Dehn手術のうち、特にレンズ空間、Seifert多様体を生成するDehn手術について考察した。レンズ空間を生じるDehn手術はprimitive/primitive構成で説明されることが予想されており、結び目のthin positionとレンズ空間のスパインとの関係からこの予想の解決を目指して研究を進めている。また、レンズ空間の一般化であるSeifert多様体を生成するDehn手術に対しても結び目のthin positionとSeifert多様体のスパインとの関係からSeifert多様体を生み出すDehn手術を許容する結び目の条件についても調べている。特に、このような結び目のトンネル数に関する制限、3次元球面の種数2のHeegaard分解との関係に着目して研究を進めている。平成16年度は、レンズ空間、Seifert多様体内の結び目のDehn手術でいつ3次元球面が得られるかという双体的な立場から研究を進めた。レンズ空間やSeifert多様体のスパインに関して結び目をthin positionに置くことにより、従来のグラフ理論的な考察が可能となるが、本研究ではthin positionを用いたこれまでの研究を振り返り、レンズ空間、Seifert多様体を生成するDehn手術を調べていく上で、改良できる点、一般化できる点を明らかにした。次年度以降もthin positionを用いた研究を詳しく考察していく予定である。また最近構成されたロンジチュウードに沿ったSeifert手術とprimitive/Seifert構成との関連についても現在研究中である。