2005 Fiscal Year Annual Research Report
双曲結び目上のレンズ空間,ザイフェルト多様体を生じるデーン手術に関する研究
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04F04787
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| Research Institution | Nihon University |
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| Host Researcher |
茂手木 公彦 日本大学, 文理学部, 教授
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| Foreign Research Fellow |
DERULLE Arnaud 日本大学, 文理学部, 外国人特別研究員
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| Keywords | Dehn surgery / lens space / Seifert fiber space / hyperbolic knot / network / primitive / Seifert-fibered construction |
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| Research Abstract |
Moserはトーラス結び目のDehn手術を分類し、論文の最後でDehn手術でレンズ空間、Seifertファイバー空間を生み出す結び目はトーラス結び目に限るだろうという予想を提出した。Bailey-Rolfsenはトーラス結び目のあるケーブルのDehn手術でレンズ空間が生じることを示し、Moserの予想を否定的に解決した。その後、Fintushel-Sternによる例をはじめレンズ空間やSeifertファイバー空間を生み出す双曲結び目上のDehn手術の例が多数発見された。トーラス結び目のDehn手術でレンズ空間やSeifertファイバー空間が生じる様子は、トーラス結び目の外部がSeifertファイブレーションをもつので、Dehn手術でそのSeifertファイブレーションがどのように拡張されるかを見ることによって自然な説明が可能である。それでは、双曲結び目のDehn手術でSeifertファイバー空間が生じる現象はどのように説明されるのだろうか?
本研究ではSeifert手術を個別に調べるのではなく、Seifert手術全体の集合を考え、それらが構成するネットワークを通じて、Seifert手術間の相互の関係に着目し、Seifert手術を大域的に理解することを目標にしている。3次元球面内の結び目Kと整数mの組に対して、Kをm-手術yして得られた多様体がSeifertファイバー空間のとき、組(K, m)をSeifert surgeryと呼ぶ。また、Seifert surgery(K, m)に対し、次の性質をみたす結び目cをSeifert surgery(K, m)のseiferterと呼ぶ。(1)cはS^3内の自明な結び目、(2)cは手術後のSeifertファイバー空間のあるSeifertファイブレーションに関してファイバーになる。2つのSeifert surgeryがあるseiferterのtwistでうつりあうとき、それらを辺でつなぐことによってSeifert surgeryからなるネットワークを構成することができる。ネットワークとしてSeifert手術を研究していくという枠組みでは、双曲結び目K上のSeifert surgery(K, m)からトーラス結び目T上のSeifert surgery(T, m')へのネットワーク内での道を見つけることができればこの道をたどることによりSeifert surgery(K, m)に対する自然な説明が得られることになる。レンズ空間を生み出すDehn手術に関しては、GordonによってBergeが構成したlens surgeryで尽くされていることが予想されているが、本研究でこれらのlens surgeryに対してはトーラス結び目T上のSeifert surgeryからの長さ2の道が存在することが証明された。また、多くのSeifert surgeryがトーラス結び目T上のSeifert surgeryに非常に近いところにあることも明らかになった。
現在、primitive/Seifert-fibered構成で得られないSeifert手術についても詳しく調べ、これらのSeifert surgeryがネットワーク内でどのような位置を占めているのか、これらのSeifert surgeryのseiferterはどのような特徴をもっているのか明らかにしたいと考えている。今後も、ネットワークという新しい観点からSeifert手術、lens手術をとらえ、その全体像の解明を目指して研究を進めていく。
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Research Products
(1 results)
