微分ガロア・グルポイドの可積分性とパルヴェ方程式への応用

2004 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 04F04788
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 岡本 和夫 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): CASALE Guy 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 外国人特別研究員
• Keywords: 微分ガロア理論 / 微分グルポイド / パンルヴェ方程式 / 既約性 / 非線型微分方程式 / 葉層構造 / 可積分系

Research Abstract

微分方程式のガロア理論と付随する葉層構造のガロア理論の関係を微分方程式の観点から研究し両者の関係を明らかにすることが、目的の一つである。一方、パンルヴェ方程式のガロア理論の観点からの研究は日本で盛んに研究されているが、ここでも微分グルポイドの視点は有効であると期待される。例えば、パンルヴェ方程式の既約性について新しい証明を得ることを目標の一つとしている。前者が微分ガロア・グルポイドの可積分性に関する研究であり、後者がそのパンルヴェ方程式への応用である。第一の研究課題が進展すれば、その第二の課題への適用が可能となり、ともに発展が期待できる。具体的にまず考察すべきは以下の視点である。すなわち、非線型微分方程式のガロア理論においては、微分体の拡大と微分方程式の特殊解との関係を確立することが肝要であり、そのときの鍵となるのが付随する葉層構造のガロア理論である。この間パンルヴェ方程式への応用については、上記の既約性の新しい証明に取り組んだ。
具体的なテーマとして、上述のように、微分体の拡大の観点からの関係付けから微分方程式の観点での関係付けを明らかにすること、また、パンルヴェ方程式の既約性に関するデュラックの仕事を見直すことから始めた。名古屋でのこの分野に関するシンポジウム、東京で行われた可積分系に関する国際研究集会に参加した。また、この分野においては名古屋大学の梅村浩教授が日本における第一人者であるので、同教授と集中的なディスカッションを行ったところである。