ルート系の組合せ論と関連した対数的ベクトル場の幾何学

2005 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 04J00658
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 吉永 正彦 京都大学, 数理解析研究所, 特別研究員(PD)
• Keywords: 超平面配置 / 対数的ベクトル場 / chamber / 補集合 / 基本群 / ホモトピー型

Research Abstract

昨年度に引き続き、実超平面配置の補集合の極小セル分割の構造を調べた。基本群の新しい表示や、局所系係数のchain complexの境界写像を、chamberのトポロジーを使って記述することに成功した。この時点で論文としてまとめ、専門誌に投稿した。これらの成果の具体的な応用は今後の課題である。
A2型ルート系に付随した、ある種のアフィン直線配置の続に対して、その特性多項式の変化が、非常に単純な規則にしたがっていることを観察した。筆者はこの現象の背後に、対数的ベクトル場の幾何学的な性質があると考え、「3-shift問題」を定式化した。計算機(Macaulay)による多くの実験はこの予想を支持しており、またK.Saitoのホッジフィルトレーション、平坦構造の理論とのアナロジーなども観察されている。この問題は一般のルート系に対しても、「h-shift問題」(ただしhはコクセター数)として定式化できるが、現時点ではA2の場合を証明することが目標である。
筆者は最近、モース関数の勾配流により、chamberとログ微分形式を結びつけるアイデアを得た。これに基づいて、カレントによる平坦接続を構成した。このカレント接続のモノドロミーは、従来よく研究されてきたKZ型平坦接続のモノドロミーと(up to conjugateで)「同等」であり、かつモノドロミーが指数写像だけで具体的に書けるという利点を持つ。まだ実験段階であるが、気補群の群論的性質の解明、補集合の有理ホモトピー型の研究への応用が期待される。