2004 Fiscal Year Annual Research Report
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04J01668
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
大貫 浩二 早稲田大学, 理工学研究科, 特別研究員(DC2)
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| Keywords | 量子不変量 / colored Jones多項式 / 体積予想 / 双曲多様体 / 双曲錐多様体 / 双曲体積 |
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| Research Abstract |
本研究は体積予想に関する研究である。
結び目の量子不変量は主に量子群の表現を使って構成される。Jones多項式が発見されてから、長年、こういった量子不変量と幾何学的な構成で得られる不変量との関係が疑問となってきた。
約10年前、R.Kashaevは、彼が構成した量子不変量のある種の極限が結び目の補空間の双曲体積を決定することを予想した。後に、Kashaevの不変量はJohes多項式の一般化でもあるcolored Jones多項式の特殊値に等しいことが示され、colored Jones多項式のある種の極限が補空間の体積を決定することも予想された。現在、この予想は体積予想と呼ばれ、研究されている。
近年では、S.Gukov、村上斉、横田佳之により、colored Jones多項式の極限は、結び目を特異集合とする3次元錐多様体の体積、もっと一般的に、結び目に一般化されたDehn手術を施して得られる3次元多様体の体積、Chern-Simons不変量とも関係することも予想され、8の字結び目に関して、そのことを示唆する結果が得られている。
今年度、私は、2つの絡み目、Whitehead絡み目、Borromean ringsに対するcolored Jones多項式の解析を行い、その2つの絡み目に対する体積予想を示した。また、Borromean ringsに対して、colored Jones多項式の極限がBorromean ringsの3つの成分を特異集合とする双曲錐多様体(3つの錐角はすべて等しい)の体積を決定することを示した。
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