Research Abstract |
リーマン面の複素構造の変形空間をタイヒミュラー空間という.リーマン面上の擬等角写像類群はタイヒミュラー空間上の等距離同相写像群(タイヒミュラーモジュラー群)を導く.リーマン面がコンパクトの場合には,タイヒミュラー空間は有限次元で,タイヒミュラーモジュラー群の作用は真性不連続である.しかし,リーマン面が無限型になると,タイヒミュラー空間は無限次元になり局所コンパクトでもない.そしてタイヒミュラーモジュラー群は一般には非可算群になり,作用も一般には真性不連続ではない.この現象に基づき,これまでの研究では,軌道の集積点集合を考えることにより,タイヒミュラーモジュラー群の作用に関する極限集合および不連続領域の概念を新たに導入し,クライン群論や複素力学系の理論と対比させながら,それらの性質を考察してきた.本年度の研究では,この研究をさらに発展させるため,漸近的タイヒミュラー空間の考察を行った.これは最近,Earle, Gardiner, Lakicによって導入された概念で,漸近的等角写像を用いて定義されたタイヒミュラー空間の商空間である.タイヒミュラー空間上と同様に,リーマン面上の擬等角写像類群は漸近的タイヒミュラー空間上の等距離同相写像群(geometric automorphism group)を導く.つまり,擬等角写像類群から等距離同相写像群への準同型を得る.しかし,その準同型はタイヒミュラー空間の場合とは違って,忠実ではない.そこで,まずはじめに,擬等角写像類群が漸近的タイヒミュラー空間上に非自明に作用するためのリーマン面の双曲幾何学的条件,および,写像類の条件を得た.そして,geometric automorphism groupの力学系を,タイヒミュラーモジュラー群の力学系と比較し,それらの違いおよび問題を明らかにした.
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