2005 Fiscal Year Annual Research Report
結び目や絡み目のデーン手術で得られる錐多様体の幾何
Project/Area Number |
05F05045
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Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
Principal Investigator |
村上 斉 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助教授
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Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
PASHKEVICH Marina 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 外国人特別研究員
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Keywords | 結び目 / 絡み目 / 3次元多様体 / 錐多様体 / 体積 / デーン手術 / 体積予想 / 色付きジョーンズ多項式 |
Research Abstract |
3次元多様体とは,局所的に3次元ユークリッド空間と同相な位相空間のことである.また,3次元錐多様体とは,1次元の特異集合を除いて双曲幾何構造がはいる3次元多様体のことである.この1次元の特異集合は多様体に含まれる結び目または絡み目とみなすことができ,逆に錐多様体は3次元多様体から結び目または絡み目に沿ったデーン手術を行なって得られたとみなすことができる. 本研究では,3次元球面内の結び目・絡み目から得られる3次元錐多様体の,最も基本的で重要な幾何的量である体積を調べた.特に,ボロメオ輪という3成分絡み目からデーン手術で得られる様々な多様体に対して,具体的な形で体積の公式を導いた. この研究は,現在低次元トポロジー研究者のみならず理論物理研究者からも大いに注目を集めている体積予想(結び目・絡み目の色付きジョーンズ多項式のある種の極限が,その結び目・絡み目からデーン手術で得られる3次元(錐)多様体の体積を決定するであろうというもの)と関連している.一般に色付きジョーンズ多項式の極限は厳密に計算するのが大変難しく,計算機を使って数値実験が行なわれている段階である.このような状況から見て,結び目・絡み目のデーン手術で得られる錐多様体の体積を具体的に書き下すということは大変意味深いことである. また,8の字結び目のデーン手術で得られる錐多様体のうち双曲幾何構造が入らないものについても,何らかの幾何構造が入るのではないかと考え,その体積公式を求めるべく研究を進めているところである.
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Research Products
(5 results)