2007 Fiscal Year Annual Research Report

ラプラシアンのスペクトラル密度関数を用いて、多様体とその基本群を研究する。

Research Project

Project/Area Number	05J02105
Research Institution	Kyoto University
Principal Investigator	尾國新一 Kyoto University, 大学院・理学研究科, 特別研究員(PD)
Keywords	スペクトラル密度関数 / 1^2不変量 / 離散群 / ランダムウォーク
Research Abstract	群フォンノイマン環NG係数の群ホモロジーのようなNG加群の大きさ(小ささ)を測るものとして1^2不変量がある.特に1^2ベッチ数はNG係数の群ホモロジーの射影部分加群の大きさを測っており,一方で,可測と呼ばれている1^2ベッチ数が消えている部分加群の小ささをNS不変量が測っている.ところで,・1^2ベッチ数ば射影加群に対して忠実な量であるのに対して,NS不変量や私が以前に定義した二義的NS不変量(これらをまとめて,NS型不変量と呼ぶことにする)は有限表示可測加群に対して,忠実ではない.つまり,0でない有限表示可測加群に対して,NS型不変量が無限になってしまうことがある.一方で,有限表示可測加群に対してNS型不変量を定義する際に経由するスペクトラル密度関数という実数値ではない不変量は,忠実である.そこで,わたしは一般の有限表示とは限らない可測加群に対してもスペクトラル密度関数を定義し,忠実となるものを定義した.そのためのアイデアはスペクトラル密度関数の代わりにスペクトラル密度関数の族を考えるということである.この概念を用いて,いくつかの知られている定理がきれいに一般化できたり,証明の見通しを良くできることを注意しておく.例えば,有限生成とは限らない離散群上のランダムウォークについていくつか定理が得られた.有限生成群の場合に限っても、知られていたいくつかの定理にコンセプチュアルな別証明を与えることができた.この研究は,研究の目的をより高い視点に立って,行ったものである.