2006 Fiscal Year Annual Research Report
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05J06193
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
松本 詔 九州大学, 大学院数理学研究院, 特別研究員(DC1)
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| Keywords | シューア関数 / ジャック関数 / ハイパー行列式 / パファイン / テプリッツ行列式 |
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| Research Abstract |
Cayleyにより定義されたハイパー行列式と、そのパフィアンへの類似として新たに定義したハイパーパフィアンについての研究を行った。ハイパー行列式は、行列式の定義をハイパー行列、すなわちテンソルへ自然に拡張したものである。シンプルな定義ではあるが、対称関数論との興味深い関連を幾つか見つけることができた。具体的には次のような結果を得た。
まずシューア関数の複数の積の分割全体にわたるを、ハイパー行列式またはハイパーパファインを用いて表示する式を得た。シューア関数の積の数が偶数か奇数かによってハイパー行列式かハイパーパフィアンのいずれかで表すことができる。特に偶数の場合は、コーシー行列式の自然なハイパー化で与えられる。
次に、テプリッツ型ハイパー行列式の研究を行った。その積分表示を得ることによって、テプリッツ型ハイパー行列式の具体的な値を求めるという問題は、ある対称関数のジャック関数への展開での係数を計算すると言い換えることができた。それにより幾つかのハイパー行列式の値を具体的に求めることができた。
さらにジャック関数のヤコビ・トゥルーディ型の行列式表示に関する結果を得た。ジャック関数はシューア関数に1パラメータαを加えた拡張であるが、シューア関数のヤコビ・トゥルーディ公式に対応するような行列式表示は知られていない。今回の研究では、対応する分割の0で無い成分が全て等しい場合は、ハイパー行列式やハイパーパフィアンを用いて表すことができるという結果を得た。
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