2007 Fiscal Year Annual Research Report
フーリエ解析を使った関数微分方程式の解の構成と数値計算および偏微分方程式への応用
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06J06250
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
米田 剛 The University of Tokyo, 大学院・数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Keywords | Navier-Stokes方程式 / Euler方程式 / 概周期関数 / コリオリ力 |
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| Research Abstract |
我々の扱うNavier-Stokes方程式には有名な未解決問題が存在し、それはClay財団が「解けたら100万ドルの懸賞金を提供する」と宣言した7つの未解決問題の一つとしても有名である。より具体的には「初期値が十分滑らかな周期関数におけるNavier-Stokes方程式において滑らかな解の時間大域的一意解の存在または非存在を示せ」というものである。我々はこの未解決問題を解くことを最終目標としているが、そのために我々は先ずは「コリオリ力付き」のNavier-Stokes方程式やEuler方程式を初期値が概周期関数である場合においての考察を色々と進めた。ここでいうコリオリカとは台風のような地球の自転によって引き起こされる回転力みたいなものを指す。なおコリオリ力付きなら「初期値が周期関数における滑らかな解の時間大域的一意解の存在」はすでに言えているので、我々の当面の目標は「初期値が概周期関数における滑らかな解の大域的一意解の存在」になる。
最初に我々は次のことを示した。初期関数が概周期関数におけるコリオリ力付きNavier-Stokes方程式において解も概周期関数となり、解の振動数集合は初期関数の振動数集合によって生成される加法的自由群に含まれる。
次に我々は以下のことを示した。初期関数が概周期関数における2次元Euler方程式において解も概周期関数となり解の振動数集合は初期関数の振動数集含によって生成される加法的自由群に含まれる。
次に我々は以下のことを示した。「初期値に対する連続依存性」が今のところ成立していない関数空間上において、初期関数が概周期関数における2次元Euler方程式において解も概周期関数となり、解の振動数集合は初期関数の振動数集合によって生成される加法的自由群に含まれる。
最後に我々は以下のことを示した。初期関数が概周期関数におけるコリオリ力付き3次元Euler方程式において解も概周期関数となり、解の振勤数集合は初期関数の振動数集合によって生成される加法的自由群に含まれる。
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