Research Abstract |
研究題目通り,Ricci曲率が下に有界な多様体の極限空間についての研究を行った.具体的に説明する.考えている極限空間上には極限測度と呼ばれるBore1測度が入る.そこから構成される余次元1の測度がCheeger-Coldingによって定義されていたが,この測度に関するBishop-Gromov型不等式,有限性,距離関数に関する余積公式等を示した.その際,それと密接に関係する極限空間上のCut locusを定義し,それが極限測度に関して0であることを示した.また,上記結果の応用として,極限空間において,1次元的に見える性質の特徴づけを行った.正確に述べると,極限空間において局所的に1次元的に見えるための必要十分条件を与え,また,極限測度がいつ1次元Hausdorff測度と局所同値になるかの必要十分条件を与えた.この結果は現在予想されている,「極限空間のHausdorff次元は整数である」という予想についての,2次元以下についての解決を与える.この予想の3次元以下に関しては部分的な結果を与えた.3次元以下についての完全な解決に向けては現在研究中である.また,高次元に関してのこの予想については,「適当な十分条件のもと」ではこの予想が解けることを示した.現在,この予想を解くための十分条件は知られておらず,おそらくこの「適当な条件のもと」は一般に成立するのではないかと考え,現在研究を進めている.その様に考える理由は,Alexandrov空間の理論など,関連する分野の研究からそのように感じている.これがうまくいくと,上記予想は一般に,完全に解けることになる. また,極限空間において,1次元的に見える部分が存在すれば,そのいかなる開集合も2次元以上の滑らかなRiemann計量を持たない,ことを示した.この結果は,「極限空間においてその次元は一様である」という考えを支持する結果の一つとなっている.これは,上の考えを支持する一般的な結果としては初めてのものである.この主張の証明には上記に述べたBishop-Gromov型不等式を用いるが,これをさらに用いて一様性に関する他の主張を示せないか,研究中である.
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