Research Abstract |
<可換Grobner基底とOriented Grassmann多様体のトポロジー> 昨年度,計算機を用いて調べていた,Oriented Grassmann多様体の問題に関して,理論的考察を進めた.Grobner基底を用いて,コホモロジー環の構造を詳細に調べることにより,無限個の多様体の族に対して,そのcup-lengthを決定し,LS-category数の上限および下限を得た.その特別な場合として,ある多様体のLS-category数を新たに決定した.また,ユークリッド空間へのはめ込み問題においても結果を得た. <非可換Grobner基底とSteenrod代数及びAdamsスペクトル系列> Steenrod代数は,非可換環で,生成元の間に,Adem relationと呼ばれる関係式があることが知られている.そこへ非可換Grobner基底を適用することにより,Steenrod代数を計算機上で扱うことができるようになる.今回はこれをAdamsスペクトル系列のE_2項の計算に用いた.このスペクトル系列は,位相空間XからYへの写像の安定ホモトピー集合に収束する.特にXが球面の場合は,Yの安定ホモトピー群に収束する.このスペクトル系列のE_2項は,コホモロジー環の,Steenrod代数上の自由分解を計算することによって与えられる.一方,可換な多項式環上の加群の自由分解を,可換Grobner基底を用いて計算するアルゴリズムは知られている.これを非可換Grobner基底の理論の上で展開することにより,Steenrod代数上の加群の自由分解を計算するアルゴリズムが得られた.さらにそのアルゴリズムを元に,Adamsスペクトル系列のE_2項を計算するプログラムを作成した.球面の安定ホモトピー群の研究の歴史は長く,その場合のE_2項に関しては膨大な計算結果がある.ところが今回の方法ではSteenrod代数の作用がわかっている空間であれば,球面に限らず適用可能であるため,これまで全く手をつけられてこなかった対象への応用が考えられる.例えばXをユニタリー群の分類空間にとれば,YのK群に関する情報が得られると期待される.
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