2009 Fiscal Year Annual Research Report
ライデマイスタートーション、モース理論による非可換不変量と3次元の幾何構造の研究
Project/Area Number |
08J07685
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Research Institution | The University of Tokyo |
Principal Investigator |
北山 貴裕 The University of Tokyo, 大学院・数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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Keywords | 位相不変量 / 3次元多様体 / 結び目 / 位相幾何学 / 力学系 / 非可換環 |
Research Abstract |
本年度は、特に非可換な変換群を持つ被覆空間から3次元多様体の位相構造を捉えることを目的として、主に位相不変量であるReidemeister torsionが非可換な係数を取る場合についての研究を行った。その結果、古典的なMorse理論の一般化であるサークル値Morse理論の見地からの不変量の記述、比較的係数の非可換性が小さい場合の不変量の具体的な計算法、応用法について、以下のような成果が得られた。 1非可換Reidemeister torsionのMorse理論的、力学系的な表示について 閉多様体上にサークルに値を持つMorse関数が与えられたときに、非可換Reidemeister torsionが勾配ベクトル場の定める力学系のゼータ関数と臨界点が生成する複体の代数的torsionの積で表わされることを示した。これは可換な場合に知られていた公式の非可換な場合への一般化となっており、不変量の新しい側面が明らかになった。帰結として、higher order Alexander多項式と呼ばれる非可換Alexander多項式に対しても同様の分解公式が得られた。 2metabelian Alexander多項式の最高次係数について Reidemeister torsionを用いて、2階の交換子が消えるmetabelianと呼ばれるクラスに係数を持つ非可換Alexander多項式の最高次係数にあたる新しい不変量を導入し、その計算アルゴリズム及び空間がサークル上のファイバー束であるための必要条件を得た。また、Alexander加群は同じだが当不変量が異なる結び目の例、ファイバー束でないことを古典的なAlexander多項式では判定できないが当不変量によって判定できる例を与えた。これにより、これまで情報の抽出及び計算が困難であった非可換Alexander多項式の新しい応用可能性が生まれた。
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Research Products
(7 results)