対称空間上の勾配型不変微分作用素とリー代数の表現

1999 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09440002
• Research Institution: Hokkaido University
• Principal Investigator: 山下 博 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (30192793)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 澁川 陽一 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助手 (90241299) ; 齋藤 睦 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70215565) ; 山田 裕史 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (40192794) ; 西山 享 京都大学, 総合人間学部, 助教授 (70183085) ; 平井 武 京都大学, 大学院理学研究科, 教授 (70025310)
• Keywords: 半単純リー群 / Harish-Chandra加群 / べき零軌道 / 随伴多様体 / 重複度 / 勾配型微分作用素 / 一般化Whittaker模型 / 離散系列

Research Abstract

「実半単純リー群Gの既約表現の誘導加群への埋込み(模型)が,リーマン対称空間X=G/K上の勾配型不変微分作用素族が定める微分方程式系の誘導加群の関数空間における解により特徴づけられる」という核型定理に基づき,本課題研究(平成11年度分)では,Harish-Chandra加群に対する(随伴サイクルにおける)重複度と勾配型微分作用素の主表象の研究を進め,以下に述べる成果および新知見を得た.
1.既約な随伴多様体をもつHarish-Chandra加群について,零化イデアルに関する代数的なある種の仮定のもとに,その随伴サイクル(とくにその唯一の孤立素因子における重複度)が,双対Harish-Chandra加群を核空間として実現する勾配型不変微分作用素の主表象写像を用いて記述できることを一般に証明した.すなわち,主表象写像は,随伴多様体上に台をもつKc-ベクトル束を自然に誘導し,唯一の開軌道上でのファイバー空間の次元が当該のHarish-Chandra加群の重複度を与える.
2.その応用として,2年前には具体例によってのみしか分からなかった既約最高ウェイト加群(ユニタリとは限らない)の一般化Whittaker模型の存在を,一般的に証明することができた.また,四元数型単純リー群の場合に,Borel-de Siebenthal離散系列表現の重複度の記述し,重複度と特異べき単表現の一般化Whittaker模型との関係について,具体的な計算を行った(G-型の場合).
3.また,研究代表者は,本課題研究で得られた研究成果を,(1)日本数学会(1999年度年会・秋季総合分科会),(2)数理解析研究所共同研究集会「群の表現と非可換調和解析」(1999年8月),(3)JSPS-DFG workshop "Infinite-dimensional Harmonic Analysis" (1999年9月),などで口頭発表し,3篇の論文に取りまとめた.
4.各研究分担者は,各自の課題研究が深く関わる上記の研究1〜3の各過程で,セミナーや討論をとおして本研究に常時参加した.(付記:研究分担者による研究および成果取りまとめを効率的に図る必要が生じたため,コンピュータを申請時より1台多く,計2台購入した.)

Research Products

• [Publications] Yamashita, H.: "Associated variety, Kostant-Sekiguchi correspondence, and locally free U(π)-action on Harish-Chandra modules"J. Math. Soc. Japan. 51・1. 129-149 (1999)
• [Publications] Yamashita, H.: "Gereralized Whittaker models and π-homology for some small irreducible representations of simple Lie groups"数理解析研究所購究録. 1124. 86-105 (2000)
• [Publications] Yamashita, H.: "Two dual pair methods in the study of generalized Whittaker models for unitary highest weight modules"Proceedings of JSPS-DFG workshop "Infinite-dimensional Harmonic Analysis". (発表予定). (2000)
• [Publications] Yamashita, H.: "Reduced Schur functions and Littlewood-Richardson coefficients"J. of London Math. Soc.(2). 59・2. 396-406 (1999)
• [Publications] Nishiyama, T.: "Bernstein degree of singular unitary highest weight representations of the metaplectic group"Proc. Japan Acad.. 75・2. 9-11 (1999)
• [Publications] Saito, M.: "Hyper geometic polynomials and integer programming"Compositio Math. 115・2. 185-204 (1999)