シンプレクティック幾何における指数定理と解析的二次不変量

1999 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09640081
• Research Institution: Keio University
• Principal Investigator: 森吉 仁志 慶応大学, 理工学部, 助教授 (00239708)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 小野 薫 北海道大学, 理学部, 教授 (20204232) ; 亀谷 幸生 慶応大学, 理工学部, 講師 (70253581) ; 前田 吉昭 慶応大学, 理工学部, 教授 (40101076) ; 松本 真 九州大学, 大学院・数理学研究科, 助教授 (70231602)
• Keywords: 非可換微分幾何学 / K-理論 / 巡回コホモロジー / 指数定理 / シンプレクティック幾何

Research Abstract

本研究では:
1.K-理論や巡回コホモロジー理論を主要な表現手段として、spectral flowやeta不変量などの解析的二次不変量が関連するさらに精巧な指数定理を非可換微分幾何学の枠組を用いて構築すること;
2.この精巧化された指数定理をシンプレクティック幾何との関連において考察し、とくにMaslov類との関係を二次特性類の視点から明確にすること;
を主要な研究目標とした。
本年度における具体的な結果としては、昨年度から取り組んでいる非可換幾何学におけるAtiyah-Patodi-Singer指数定理の定式化が挙げられる。これは、群の擬作用(group quasi-action)という新しい概念を導入し、それに付随するC^*-algebrasの短完全列を用いて、X上の作用素の指数をrelative K-groupの元として捉える方法である。この短完全列はC^*RのWiener-Hopf extentionを与えており、その構成法自体にも興味がもたれる。こうしてK-群を用いて作用素の指数を定義しておき、次にYのeta不変量に結びつくrelative cyclic cocycleを定義する。このときrelative cyclic cocycleでrelative K-groupに住む指数を測った値はYのeta不変量と局所不変量L(R_x)の差になり、Atiyah-Patodi-Singer指数定理が得られることになる。今年度はこの結果を発展させて、エータ不変量とII型von Neumann環のスペクトル流の関連性についての研究を行った。この結果に関して、1999年12月の東京大学数理科学研究科火曜トポロジーセミナー・解析学セミナー、において講演を行った。