高位の符号数の研究

1998 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09640104
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 石井 亮 京都大学, 大学院理学研究科, 助手 (10252420)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 原田 雅名 京都大学, 大学院理学研究科, 助手 (80181022) ; 松澤 淳一 京都大学, 大学院理学研究科, 助手 (00212217) ; 深谷 賢治 京都大学, 大学院理学研究科, 教授 (30165261) ; 河野 明 京都大学, 大学院理学研究科, 教授 (00093237)
• Keywords: ノビコフ予想 / 離散群 / 作用素環

Research Abstract

平成10年度の研究成果は以下の通りである。離散距離空間の間の写像に対して、リプシッツの条件のように距離に関する条件を考えることができる。そのような距離に関するある条件を課すことにより、その写像がファイバー構造である、という概念を定義した。離散距離空間の中でも幾何学的観点から特に重要なのが離散群である。離散群に対してはword metricという標準的な距離があり、それに関してファイバー構造を定義した。
例えばハイゼンベルグ群のケーリーグラフは凸性を持たないが、自然な写像を考えることによりファイバー毎には凸性を得ることができる。我々はハイゼンベルグ群の場合をモデルケースとしてファイバー構造に関する考察を行った。さらにこの概念を高階の場合に拡張した。まず羃零群はこの構造を持つことを示し、それを手掛かりとしてalmost non positively curved manifoldの基本群についてもそのような構造を得ることができた。
一方、コンヌ、グロモフ、モスコヴィッチにより群コホモロジーのクラスに対してプロパー・リプシッツ性という概念が定義され、さらにプロパー・リプシッツなクラスに対しては、ノビコフ予想が成立することがわかっていた。そこでファイバー構造を持つ群のプロパー・リプシッツ・コホモロジーについて考察した。コンヌ、グロモフ、モスコヴィッチが線型代数群、ジェット束といったものについて適用した手法をより一般の場合に拡張し、我々は次の結果を得た:
Γをalmost non positively curved manifoldの基本群とする。このときH@@S1*@@E1(Γ;R)の任意のクラスはプロパー・リプシッツである。特にΓに対してノビコフ予想が成立する。

Research Products

• [Publications] K.Fukaya: "Anti-self-dual equation on 4-manifolds with degenerate metric" Geometric and Functional Analysis. 8. 466-528 (1998)
• [Publications] K.Fukaya: "Amold conjecture and Gromov-Witten Invariants" Topology. 1-150
• [Publications] 深谷賢治: "シンプレクテイック幾何学" 岩波書店, 300 (1999)
• [Publications] 深谷賢治: "これらかの幾何学" 日本評論社, (1998)