量子不変量の漸近展開

1997 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09640118
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 横田 佳之 九州大学, 大学院・数理学研究科, 講師 (40240197)
• Keywords: 量子不変量 / 三次元多様体

Research Abstract

量子不変量とは、各コンパクトリー群に対して定義される三次元多様体の不変量で、Wittenによって提唱され、Reshtikhin-Turaev等によって定式化されました。この不変量はその定義から複素数に値をとりますが、とくにある1の巾根qの多項式環に値をとることが、最近の研究でわかってきました。
以上をふまえて、この研究では、量子不変量をq=1で漸近展開し、三次元多様体の多項式不変量を抽出することを目標にしてきました。その出発点として、量子不変量を位相的場の理論の観点からとらえ、三次元多様体の基本群の情報が、どのように量子不変量のなかに反映されているかを調べました。これは、量子不変量の漸近展開で最初に現れるCasson不変量が、三次元多様体の基本群の表現空間の情報から導かれる事実をみても、自然な問題意識だと考えます。
具体的な成果としては、量子不変量による、三次元多様体内の曲面の非圧縮性の判定、です。三次元多様体内に埋め込まれた曲面に対して、埋め込みによって誘導される基本群間の写像が単射になるとき、この曲面を非圧縮と呼びます。三次元多様体を非圧縮曲面で分割する問題は、その基本群の構造と本質的なつながりがあり、従って上で述べた問題意識と関係してくるのですが、与えられた曲面が非圧縮かどうか判定することは、非常に困難と一般的に思われてきました。この研究では、三次元多様体内の曲面に対し、位相的場の理論の観点からある行列を対応させ、その行列の階数をみて非圧縮性を判定することに成功しました。

Research Products

• [Publications] Y.Yokota: "Skeins and quantum SU(N) invariants of 3-mauifolds" Mathematishe Annalen. 307. 109-138 (1997)
• [Publications] Y.Yokota: "The Kauffman polynonial of alternatine links" Topology and its application. 65. 229-236 (1997)
• [Publications] Y.Yokota: "Polynomial invariants of periodickuots" Journal of Knot Theory and its Ramification. 5. 553-567 (1997)