3次元多様体上の接触構造と葉層構造の研究

1998 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09640130
• Research Institution: Chuo University
• Principal Investigator: 三松 佳彦 中央大学, 理工学部, 教授 (70190725)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 神田 雄高 北海道大学, 理学部, 助手 (30280861) ; 高倉 樹 中央大学, 理工学部, 講師 (30268974) ; 小野 薫 北海道大学, 理学部, 教授 (20204232) ; 松山 善男 中央大学, 理工学部, 教授 (70112753) ; 水谷 忠良 埼玉大学, 理学部, 教授 (20080492)
• Keywords: 接触構造 / 葉層構造 / Symplectic構造 / 幾何学的量子化 / タマ接触構造 / 射影的Anosov流

Research Abstract

代表者の三松は分担者の水谷を始めとする葉層構造の研究者グループと共に、接触構造と葉層構造が同時に現れる双接触構造(射影的Anosov流といっても同値)が任意の有向閉3次元多様体上に存在する事をつきとめたが、逆にそれは、構造の凸性が一般には成り立たず、微分可能性の問題が深刻であることを示すことにもなった。一方で3次元トーラス上の射影的Anosov流に付随する弱Anosov分解に微分可能性があるときは、分担者の一人の神田による3次元トーラス上のtight接触構造の分類に現れる構造が、きれいに対をなして現れることが分かった。
接触構造のsymplectizationに対して幾何学的量子化の方法論を応用することにより接触構造の不変量を構成しようという第二の研究テーマについて、大きく分けてKahler偏極と実偏極の二つの方法があるが、3次元接触構造の場合、Kahler偏極は擬正則曲線の理論と考えることができる。これは、分担者の小野と深谷による擬正則曲線のmoduli空間の構造に関する基礎的で深い結果に基づき、Eliashberg-Hofer-Giventalにより接触ホモロジーという概念として創始されるに至った。本研究では、その双対ともいえる実偏極を目標としており、分担者の高倉のtoric多様体の場合の理論が雛形である。三松と高倉は、接触多様体内のpre-Lagrangian torusと呼ばれる特殊なトーラスの族を基本とするある種のホモロジー論を展開すれば理論が構成されることまでを理解したが、そこから先は、今後の研究課題である。

Research Products

• [Publications] Y.Matsuyama: "On totally realminimal submanifolds in DP^n(C)" Tsukuba Journal of Mathematics. 22・2. 477-482 (1998)
• [Publications] K.Ono: "On Amold's conjecture for symplectic fixed points" Banach Conter Publications. 45. 13-24 (1998)
• [Publications] K.Fukaya & K.Ono: "Amold conjecture and Gromoo-Witten in oaviants" Topology. (掲載予定).
• [Publications] Y.Kanda: "On the Thurston-Benneguin invariant of Legendrian Rnots and nonexactness of Bennegain's ineguality" Inventionesse Mathematiace. 133. 227-242 (1998)
• [Publications] Y.Kanda: "The classification of Tight contact structures on the 3-Torus" Communications in Analysis and Geometry. 5-3. 413-438 (1997)