非線形偏微分方程式とその非線形現象解析への応用に関する研究

1998 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 09640276
• Research Institution: The University of Tokushima
• Principal Investigator: 伊藤 正幸 徳島大学, 総合科学部, 助教授 (70136034)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 香田 温人 徳島大学, 工学部, 助教授 (50116810) ; 村上 公一 徳島大学, 総合科学部, 講師 (90219890) ; 深貝 良暢 徳島大学, 工学部, 教授 (90175563) ; 成川 公昭 鳴門教育大学, 学校教育学部, 教授 (60116639) ; 山田 義雄 早稲田大学, 理工学部, 教授 (20111825)
• Keywords: p-ラプラシアン / ∞-ラプラシアン / 極限固有値問題 / ポアンカレ不等式 / 退化楕円型方程式 / 反応拡散方程式 / 爆発

Research Abstract

当研究課題における本年度の主な成果は、以下の通りである。
1. ラプラス作用素の数学的に自然な非線形拡張として、作用素p-ラプラシアンがある。この作用素またはその摂動系は、弾性膜の平衡モデル、フラックス勾配に非線形依存する拡散現象モデルなどで注目されきた。またpが無限大の極限状態は、数学的にも工学的にもさらに興味ある問題となる。p-ラプラシアンの固有値問題は、変分問題的な定式化可能で、数学的にかなり研究されてきた。我々はこの問題のp無限大極限に注目した。もともとp-1は方程式の次数でこれを無限大にした極限問題は変分的定式化の枠からはみ出すので、粘性解の概念を導入して定式化に成功した(伊藤、成川、深貝)。これは強い退化性を持つ作用素に対する新しいタイプの固有値問題で、今後注目されるものと思われる。
2. p-ラプラシアンを拡散項に持つ反応拡散系は人工圧力を考慮した生態モデルである。この単一種モデルの初期値問題の解の大域的一意性を示し、定常解集合の構造を研究した。一方線形拡散の3種系協調型競合拡散方程式の共存解存在のための必要十分条件を求め、共存解の大域的安定性を示した(山田)。
3. 放物型方程式の解の爆発について初期値に対する新しい十分条件をまず考えた。そしてこの条件の下で爆発時刻付近での解の挙動に関する結果も得た(香田)。

Research Products

• [Publications] N.Fukagai,M.Ito&K.Narukawa: "Limit asρ→∞ of p-Laplace elgenvalue problems and -inequality of the Poincare type" Diff.Int.Equations. (in press).
• [Publications] S.Takeuti&Y.Yamada: "Asymptotic properties of a reaction-diffusion equation with degenerate p-Laplacian" nonlinear Analysis,Theory,Methods&Applications. (to appear).
• [Publications] A.Yoshida&Y.Yamada: "Global attractivity of coexistence atates for a certain class of reaction diffusion systems with 3×3・・・" Advances in Mathematical Sciences and Applications. (to appear).
• [Publications] A.kobda and T.suzuki: "Anote on the blow-up pattern for a parabolic equation" J.Math.Tokushima Univ.32. 19-25 (1998)