1999 Fiscal Year Annual Research Report
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10640078
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
勝田 篤 岡山大学, 理学部, 助教授 (60183779)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
田村 英男 岡山大学, 理学部, 教授 (30022734)
三村 護 岡山大学, 理学部, 教授 (70026772)
酒井 隆 岡山大学, 理学部, 教授 (70005809)
竹内 博 四国大学, 経営情報学部, 教授 (20197271)
池田 章 岡山大学, 教育学部, 教授 (30093363)
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| Keywords | スペクトル / 逆問題 / 安定性 / ハウスドルフ距離 / ラプラシアン |
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| Research Abstract |
グラフや多様体のスペクトル幾何について研究したが、ゲルファントのスペクトル逆問題の安定性について昨年度に引き続き、クリレフ、ラサスと共同研究で成果を得たので主にこれについて述ベる。境界付きリーマン多様体上で定義されたラプラシアンのノイマン境界条件の下での固有値および固有関数の境界値から、元のリーマン多様体が決定できるかという問題はゲルファントが1954年に提示した問題に端を発し、いわゆる逆問題の一つとして研究されてきたが、リーマン幾何でスペクトル幾何の観点からも興味深いと思われる。これに対しては、ベリシェフとクリレフの結果とタタルの結果をあわせることにより肯定的な解答が得られている。
次に考えるべき問題のひとつは、誤差を含む不十分なデータに対し、本来の情報の近似が得られるかという安定性の問題である。これに関して、逆問題はアダマールの意味で不適切であるので、通常条件付の安定性が考えられているが、ここでは、多様体のクラスを制限することになる。
我々は、昨年得られた結果の条件を緩めることに成功し、次元、断面曲率、主曲率の上下から、直径の上から、単射半径の下からの評価が与えられたクラスにおいて、スペクトルデータのうち、適当な数の有限個のスペクトルデータが元のデータに近ければ、元の多様体が近似的に再現できることを示した。また、この過程における副産物として境界付多様体上の調和座標の存在に関する結果も得た。さらに、元の多様体を近似する有限次元空間の再構成にあらわれる様々な量の具体的評価についても部分的な結果を得ている。
上記以外にグラフの幾何、特に、有限グラフのべき零群被覆グラフの酔歩等について調べている。これについては、ある程度の手がかりは得たと信じているがまだまだ今後の研究を必要としている。
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[Publications] 勝田 篤: "The first eigenvalue of the discrete Dirichlet problem for a graph"Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computation. 27. 217-225 (1998)
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[Publications] 勝田 篤: "The Faber-Krahn type isoperimetric inequalities for a graph"Tohoku Mathematical Journal. 51. 267-281 (1999)
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[Publications] 勝田 篤: "Isospectral graphs and isoperimetric constants"Discrete Mathematics. 207. 33-52 (1999)
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[Publications] 酒井 隆: "On Riemannian manifolds a function whose gradient is of constant normII"Kodai Mathematical Journal. 21. 102-124 (1998)
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[Publications] 竹内 博: "On the first eigenvalue of the p-Laplacian in a Riemannian manifolds"Tokyo Journal of Mathematics. 21. 135-140 (1998)
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[Publications] 勝田 篤: "線形代数学I"培風館. 168 (1998)
