1999 Fiscal Year Annual Research Report
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10640119
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| Research Institution | 神戸商船大学 |
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Principal Investigator |
石井 克幸 神戸商船大学, 商船学部, 助教授 (40232227)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
丸尾 健二 神戸商船大学, 商船学部, 教授 (90028225)
富田 義人 神戸商船大学, 商船学部, 教授 (50031456)
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| Keywords | 粘性解 / 平均曲率流 / 退化放物型偏微分方程式 / 退化楕円型偏微分方程式 / 球対称解 |
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| Research Abstract |
研究代表者の石井は平均曲率流に対する近似問題について研究した。全空間の場合にはBMOアルゴリズムと呼ばれる近似スキームが提案されていて、その収束の証明や一般化などが既に得られている。その方法は等高面の方法から導かれる、特異性をもつ非線形偏微分方程式と粘性解理輪を用いる。石井はこのスキームを有界領域におけるノイマン問題に応用し、同様の結果を得た。これは石井仁司氏(東京都立大学大学院理学研究科)との共同研究であり、既に公表している。論文は現在投稿中である。
大沼正樹氏(徳島大学総合科学部)との共同研究において、平均曲率流方程式を含む、特異性をもつ退化放物型偏微分方程式に対する研究は、取り扱いたい方程式の特異性の程度がわかってきた。また問題の特徴から方程式の特異点集合は超平面であることはわかっていたが、その特異性が超平面の原点とそれ以外では異なることも判明した。現在は粘性解の一意性が成り立つようなテスト関数のクラスをその特異性との関係で考察中である。
また、相転移問題に現れる放物型方程式系で熱方程式と界面の運動方程式が連立しているものがある。これに関して解の一意性が知られていないことに注目し、どのような状況であれは解の一意性が成り立つのか、ということについて研究を始めた。
研究分担者の冨田・丸尾は有限個の球面上で退化する半線形楕円型偏微分方程式に対する球対称解について研究した。これを考察するために方程式を(形式的には)同値な積分方程式に直すのであるが、元の方程式が退化している球面上では被積分関数が発散してしまうという特異性が生じる。そこで彼らは粘性解の概念を用いて球対称解の存在、一意性、及び非一意性をその特異性との関係で調べた。この結果は既に公表されており、論文も作成中である。
その後、冨田・丸尾はこの結果を発展させるために、方程式の主要部が無限個の球面上で退化する場合や退化している集合が厚みを持っている場合を研究中である。
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