ベルグマン核の不変式論と複素領域の指数定理

1999 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 10640168
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 平地 健吾 大阪大学, 大学院・理学研究科, 講師 (60218790)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 大津 幸男 大阪大学, 大学院・理学研究科, 講師 (80233170) ; 竹腰 見昭 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (20188171) ; 小松 玄 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (60108446)
• Keywords: ベルグマン核 / 放物型不変式論 / CR不変量 / 指数定理

Research Abstract

ベルグマン核の不変式論を用いて領域の局所的不変量と大域的不変量を関係付けることを目標として次のような研究を行った。
1)グラウエルト柱状近傍領域でのベルグマン核の一次変分の計算
前年度の研究により射影多様体上のアンプル線束の不変量(例えばヒルベルト多項式)はその双対束の中で与えられたグラウエルト柱状近傍領域でのベルグマン核の漸近展開を用いて記述できることが示された。今年度はこの漸近展開の代数解析の手法を用いた計算を試みた。とくにその一次変分については具体的な公式を導くことができた。これはベグルマン核と線束の曲率の具体的な関係を与えている。
2)ソボレフ・ベルグマン核の指数に関する解析接続.
領域の不変量を取り出すにはベルグマン核だけでなく様々な双正則不変な核関数を用いることができる。そこで、A)双正則不変性をもつソボレフ・ベルグマン核を分類しB)その漸近展開に現れる不変量を具体的に計算した。その結果としてソボレフ・ベルグマン核の漸近展開はソボレフ指数に関して解析接続可能であり複素平面全体での有理型関数をあたえることをわかった。さらにその中に現れる普遍定数はソボレフ指数の多項式として表されることを証明した。これはこの解析接続の計算を可能とする重要な結果であり、これまで予想していなかった事実である。またこの解析接続の応用としてセゲー核とベルグマン核を解析接続により繋ぐことが可能となり、これは今まで独立して考えられていた漸近展開の間の関係を研究する新しい道具となる。この方向の研究は今後の課題である。

Research Products

• [Publications] 平地 健吾: "Construction of boundary invariants and the logarithmic singularity of the Bergman kernel"Annals of Mathematics. 151. 151-191 (2000)
• [Publications] 平地,小松,中沢: "CR invariants of weight five in the Bergman kernal"Advances in Mathematics. 143. 185-250 (1999)