2010 Fiscal Year Annual Research Report
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10J07149
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
奥田 隆幸 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Keywords | 代数的組合せ論 / 表現論 / 直交群 / コンパクト対称空間 |
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| Research Abstract |
球面上のデザインと符号の理論とは,球面に「綺麗に」有限個の点を配置することを研究するものであり,現在も盛んに研究されている.報告者の研究テーマは,球面ではない別の空間,特に直交群で「綺麗な」点配置を研究できないかということである.ここで最初に問題となるのは,球面ではない別の空間の点配置に対して"綺麗さ"をどのように定義するかということにある.これまでに知られている結果としては,球面の替わりにランク1のコンパクト対称空間,グラスマン多様体,ユニタリ群などの空間については,球面の場合の類似となる"綺麗さ"の定義が与えられており研究が進んでいる.
報告者は今年度,球面の替わりに一般のコンパクト群で代数的組合せ論を展開できないか研究を行った.その結果,表現論の言葉を用いてコンパクト群上のデザインと符号の定義を与え,球面上の埋論において重要な命題であるFisher型不等式の類似に当たる結果を得た(特に直交群はコンパクト群なので,直交群上のデザインと符号の定義を与えたことにもなる).しかし球面上において「堅いデザインは自然にアソシエーションスキームの構造を持つ」という定理は,一般のコンパクト群に対しては当初考えていたものよりも弱い類似しか証明できなかった.これはコンパクト対称空間としてのランクが高いことに原因があると考えられるため,今後は一般のコンパクト対称空間に対してデザインと符号の理論を展開し,堅いデザインとアソシエーションスキームの関係を調べていきたい.
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