2010 Fiscal Year Annual Research Report
拡がった物体に対する非リーマン幾何学的モデルの確立
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10J08248
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
谷島 尚宏 東京理科大学, 理学部, 特別研究員(PD)
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| Keywords | 拡がった物体 / 位相欠陥 / ボゾン変換 / 連続体力学 / 非リーマン幾何学 / 河口空間 / フィンスラー幾何学 / 微分幾何学 |
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| Research Abstract |
拡がった物体など多価関数によって表される特異点に対して、フィンスラー幾何学や河口空間論など非リーマン空間論の性質を用いて幾何学的定式化を行った。空間上の点と非ホロノーム変換により物理場に付随される多価関数で非リーマン的線素を定義した。特異点の幾何学的構造を得るため、通常の共変微分に加えて非ホロノーム関数に対する河口空間固有の平行性(基接続)を考えた。非ホロノーム関数が基接続の平行条件を満たしているとき、非線形接続により経路に依存する位相のずれ・欠陥を表した。さらに、非線形接続を用いた捩率や基接続の接続係数を含む曲率と多価関数の可積分条件の関係を明らかにした。
特に、対称性の自発的破れとボゾンの凝縮よる拡がった物体の理論と幾何学量の関係を議論した。ボゾン変換による対称性の破れをc数の多価関数に対する基接続の平行性条件と見なした。このとき、c数関数の一階微分は一価であるため、拡がった物体は捩率テンソルに対応する可積分条件で特徴付けられる特異点と考えることができる。すなわち、拡がった物体は遠隔平行性を持つ非リーマン空間上において、非ホロノーム変換による特異点理論の一つとして記述されることを明らかにした。さらに、点欠陥などの特異点がフィンスラー空間上の捩率に相当することを指摘した。以上の結果から、多価関数による物理場の特異点は、フィンスラー空間や河口空間など非リーマン空間上の幾何学量を用いて統一的に表現できることを示した。
また、渦などの特異点に関連して、二次元非圧縮性流体に対する幾何学的研究を行った。流れ関数曲面の曲率と流れ場の対応を調べ、点渦や渦列などの安定性とガウス曲率の関係を議論した。さらに、分数階微分に拡張したレオノーム幾何学を導入することで、履歴特性を持つ粘弾性体の一般的な構成則を導出した。
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