代数多様体上の代数的サイクルの研究

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11440004
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 斎藤 秀司 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (50153804)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 小林 亮一 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (20162034) ; 松本 耕二 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (60192754) ; 藤原 一宏 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (00229064) ; 佐藤 周友 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助手 (50324398) ; 斎藤 博 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (80135293)
• Keywords: 代数的サイクル / モチーフ / Hodye理論 / P-進Hodye理論 / 高次元類体論 / Abelの定理の高次元化 / 高次Abel-Jacobi写像

Research Abstract

研究目的:本研究の目的は大きくわけて三つある。
(1)"数論的代数多様体上の代数的サイクルをp進Hodge理論を使い研究する"
(2)"代数多様体の退化をHodge構造の退化の様子により統制する"
(3)"代数的サイクルをHodge理論を使い、周期積分により統制する"
研究目的(1)の研究実績として局所体上の多様体の高次元類体論およびそれ上の代数的サイクルの研究がドイツのJannsen氏との共同研究が進められている。既に2次元の場合に高次元類体論が多様体がgood reductionを持つという仮定のもとで完成している(論文[6])。
研究目的(2)の研究実績としてある種の孤立特異点をもつ超曲面の変形がそれから生じる対数的Hodge構造により決定されるという'対数的Torelli問題'を示すことに成功した(論文[2])。この研究における技術的な革新としてはGriffithsがもともと非特異な超曲面のTorelli問題を研究するために開発したテクニックである非特異な超曲面のHodge構造を統制するヤコビ環の理論を特異点を許す超曲面のSteenbrinkの意味でのLimitting Hodge構造を統制するヤコビ環の理論に拡張することである。
研究目的(3)の研究実績として以下の結果を得ている。古典的なAbelの定理の高次元化に必要な基本的な道具として,Bloch-Beilinson-Deligneのモチーフの哲学を具現化するChow群上のフィルーターおよびGriffithsの定義したnormal関数とAbel-Jacobi写像の高次元化である高次normal関数と高次Abel-Jacobi写像を定義した。さらにそれを使い今までのAbel-Jacobi写像では捉えきれなかった代数的サイクルを捉えることに成功した(論文[1])。この研究における技術的な革新として開完全交差多様体にたいするヤコビ環の理論の開発が朝倉政典氏との共同によりなされた(論文[4])。上記理論の応用としてBeilinsonの提出した古典的なHodge予想とTate予想を開多様体へ一般化した予想を十分一般な開完全交差多様体にたいして示すことに成功した(朝倉政典氏との共著論文[5])。またBlochの定義した高次Chow群にたいし上記理論を応用し,これまで解明されていなかった曲面の高次Chow群の非自明な元を捉えることに成功した(Muller-Stach氏の共著論文[3])。

Research Products

• [Publications] S. Saito: "Higher normal functions and Griffiths groups"Journal of Algebraic Geometry. 11. 161-201 (2002)
• [Publications] S. Saito: "Infinitesimal logarithmic Torelli problem/for degenerating hyper-surfaces"Proceedings of Algebraic Geometry 2001, Azumino. (2002)
• [Publications] S. Miiller-Stach, S.Saito: "On K_1 and K_2 of algebraic surfaces"submitted to Journal of Differential Geometry.
• [Publications] M. Asakura, S. Saito: "Generalized Jacobion rings for open complete intersections"submitted to Duke Mathematical Journal.
• [Publications] M. Asakura, S. Saito: "Beilinson's Hodge and Tate conjectures for open complete intersection"submitted to Annals of Mathematics.
• [Publications] U. Jannsen, S.Saito: "Class field theory for varietees over local fields"preprint.