Dirichlet形式、等周不等式を用いた多次元拡散過程の新しい構成方法

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11440029
• Research Institution: Graduate School of Mathematics, Nagoya University
• Principal Investigator: 長田 博文 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (20177207)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 梁 しょう 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助手 (60324399) ; 石毛 和弘 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (90272020) ; 服部 哲弥 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (10180902) ; 植村 英明 愛知教育大学, 教育学部, 助教授 (30203483) ; 篠田 正人 奈良女子大学, 理学部, 講師 (50271044)
• Keywords: 拡散過程 / Dirichlet形式 / フラクタル / Sierpinski Carpet / 等周不等式 / マルコフ過程 / ランダム行列 / determinantal random point field

Research Abstract

長田博文の当該研究期間における新しい成果は、ランダム行列と関係する、行列式過程とよばれる実数上の無限個の点からなる空間(いわゆる実数上の配置空間で1次元空間を運動する無限個の粒子の位置を表すものである)における、平衡状態(定常分布を表す確率測度)にたいしてそれを参照測度とする無限次元拡散過程の構成を行ったことである。これは以前Gibbs測度に対して行ったものと関係する研究だが、行列式過程というGibbs測度とは全く異なりかつ重要なクラスの確率測度に対する結果である。本研究の無限次元的側面おいてもっとも力を入れている方向の研究である。残念ながらDirichlet形式の最大可閉部分に対する結果であるという不十分さがあり、それをformの可閉性そのものを示すというように結果を強めるのは今後の課題となった。しかし有限粒子系との関係はついておりそれほど不満なものでもない。また、行列式過程を定める核関数がLipschiz連続ならば粒子と粒子がたがいに衝突しないということをしめした。さらにヘルダー連続の場合は衝突する例があることを証明した。これらについては「Non-collision and collision properties of Dyson's model in infinite dimension and other stochastic dynamics whose equilibrium states are determinantal random point fields」という論文(preprint)にまとめた。
フラクタルの研究に関しては前年度の研究成果を論文の形でほぼまとめた。さらにあるパラメターの範囲で染み込みがおこらないということを示し、以前の結果を進展させることができた。なお、植村英明は多次元局所時間の研究を進展させた。篠田正人はフラクタルグラフ上の向き付け浸透過程について意外性のある結果を示した。

Research Products

• [Publications] Osada, Hirofumi: "Harnack inequalities for exotic Brownian motions"Kyushu J. Math. 56. 363-380 (2002)
• [Publications] Hambly, B.M., Hattori, Kumiko, Hattori, Tetsuya: "Self-repelling walk on the Sierpi\'nski gasket"Probab. Theory Related Fields. 124. 1-25 (2002)
• [Publications] Hattori, Tetsuya, Tsuda, Toshiro: "Renormalization group analysis of the self-avoiding paths on the $d$-dimensional Sierpi\'nski gaskets"J. Statist. Phys. 109. 39-66 (2002)
• [Publications] Shinoda, Masato: "Existence of phase transition of percolation on Sierpi\'nski carpet lattices"J. Appl. Probab.. 39. 1-10 (2002)
• [Publications] Ishige, Kazuhiro: "Blow-up time and blow-up set of the solutions for semilinear heat equations with large diffusion"Adv. Differential Equations. 7. 1003-1024 (2002)