極小部分多様体に関するBernstein型定理の研究

1999 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11640068
• Research Institution: University of Toyama
• Principal Investigator: 岡安 隆 富山大学, 教育学部, 助教授 (00191958)
• Keywords: 極小部分多様体 / 法接続 / 同変微分幾何

Research Abstract

Gをコンパクト連結Lie群、ΦをGのR^n上の直交表現で、余次元2のprincipal orbit typeをもつものとする。そのような(G,Φ,R^n)はHsiang-Lawson(1971)により完全に分類され、階数2の対称空間のイソトロピー表現と一致することが知られている。
軌道空間R^n/Gは、R^2の領域であり、対称空間G/KのWeyl領域R^2/W(W=Weyl群)と一致する。Hsiang(1982)はR^nの平均曲率一定な超曲面を構成する問題を、R^2/Wの中の曲線についての微分方程式に帰着させ、多くの新しい例を作った。
この研究では、Hsiangのアイデアをまねして、ユークリッド空間の完備な極小部分多様体でその法接続が平坦なものを構成する問題を、R^2/W×Rの中の曲線についての微分方程式に帰着させた。その結果、無数の新しい例を構成することができた。この方法のポイントは、このような余次元1の主軌道をもつ部分多様体では、法接続がいつでも平坦になるという点である。
定理 ユークリッド空間の中には、余次元2の完備、既約な極小部分多様体でその法接続が平坦なものが無数に存在する。それらは以下のような多様体に微分同相である。S^p×S^q×R,SU(2)/T^2×R,G_2/T^2×R,F_4/Spin(8)×R,...(13種類)。
同じアイデアをcohomogeneity【greater than or equal】3の場合に実行すれば、余次元【greater than or equal】3の完備極小部分多様体で法接続が平坦なものを作ることができる。