高次元フラクタル上の自己回避ウォーク、およびランダム・ツリー

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11640110
• Research Institution: Shinshu University
• Principal Investigator: 服部 久美子 信州大学, 理学部, 助教授 (80231520)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 神谷 久夫 信州大学, 理学部, 講師 (80020676) ; 井上 和行 信州大学, 理学部, 教授 (70020675)
• Keywords: フラクタル / ランダム・ウォーク / self-avoiding walk / self-repelling walk / Sierpinski Gasket / 連続極限 / 平均二乗距離 / 重複対数の法則

Research Abstract

前年度から引き続き行ってきた、Sierpinski gasket上のself-repelling walk(自己反発ウォーク)の研究を完成した。Sierpinski gasket上では、simple random walkの連続極限として得られるブラウン運動と、self-avoiding walk(自己回避ウォーク)の連続極限として得られる自明でない(見本関数のハウスドルフ次元が1より大きい)self-avoiding process(SAP)が構成されている。これらの、全く性質の異なる(前者はマルコフ過程,後者は非マルコフ過程)2つの確率過程を連続につなぐ確率過程の族を、パラメータuを含むself-repelling walkの族の連続極限として構成した。極限の過程は法則収束の意味でuに関して連続である。見本関数の性質については、時刻0付近での立ち上がりやHolder連続性を調べ、重複対数の法則を証明した。これらの見本関数の性質を支配する指数もブラウン運動とSAPの指数の間をuに関して連続につなぐ。ここで用いた、連続につなぐ確率過程の構成法は、空間の自己相似性を利用するもので、これを1次元ユークリソッド空間にも適用することができる。それにより、今まで構成されていたものとは異なるself-repelling walkの族を構成し、その連続極限をとることにより、新しいself-repelling processの族を構成した。これらの結果は、Probability Theory and Related Fieldsに掲載が決定している
更に、self-avoiding walkの連続極限の一般理論を目指して、他のフラクタル上にself-avoiding walkを構成し、それに関連する力学系の漸近的振舞いを調べる研究が進行中である。既に不動点上での連続極限の構成など、いくらかの結果が得られている。この結果は、高次元フラクタル上のself-avoiding walkの解析に対する手がかりを与えると期待される

Research Products

• [Publications] 井上和行: "A class of multiparameter Levy processes"統計数理研究所共同研究リポート. 137. 83-87 (2001)
• [Publications] 井上和行: "A class of multiparameter Levy processes of Gaussian type"統計数理研究所共同研究リポート. 146. 7-12 (2002)
• [Publications] B.Hambly, K.Hattori, T.Hattori: "self-repelling walk on the Sierpinski Gasket"Probability Theory and Related Fields. (掲載決定).