リッチフラットケーラー計量の大域解析学とカスプ特異点

1999 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 11874012
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 小林 亮一 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (20162034)
• Keywords: リッチフラットケーラー計量 / 積分幾何学 / チェビシェフ不等式 / 値分布論

Research Abstract

射影代数多様体への正則曲線の値分布論と、数体上定義された射影代数多様体上の有理点分布を統一的に説明する幾何学が存在するという作業仮説のもと、数論的側面と連動させて値分布論を研究した。このような幾何学がある種の積分幾何学であることが、その全体像ととも(まだ完全ではないが)見えてきた。本研究で得られた新しい知見の特徴を一言で書くと、積分幾何の方法によって、第二主要予想の障害となる部分多様体をシステマティックかつ定量的に洩れなくつかまえることができる、ということである。論文"Holomorphic Curves in Abelian Varieties・・・"ではAbel多様体への正則曲線に上記の積分幾何学のアイディアを実験的に適用した。Abel多様体は構造の特殊性によって上記アイディアの実行が技術的にやりやすく、格好の実験場である。結果は,Abel多様体の場合に懸案の第二主要予想が肯定的に示されたことである。これにより、本研究の方向は一定の有効性をもつと言えよう。値分布論の積分幾何学的研究は、統計的手法の導入でもある。そこにはChebyshev不等式の幾何学的応用という、初等的ながらこれまで意識して考察されてこなかった側面もある。論文"Minimizing Currents in Open Manifolds・・・"では、この側面を追求して、完備Riemann多様体におけるH^<n-1>-予想を解決した。
値分布論の研究とは別に、Ricci-flat Kahler計量の研究も行なった。分野としては全く異なるが、研究上は積分幾何の方法でつながっており、同一研究者によって研究されることは不自然ではない。Blaschke予想は抽象的に階数1の対称空間の測地線挙動をもつ空間は階数1の対称空間に等長的であることを主張する典型的逆問題である。この問題をRicci一flat Kahler計量および超Kahler構造の順問題に変換する枠組を作った。また、その枠組が機能するために必要な、ある種のアファイン代数多様体におけるRicci-flat Kahler計量の存在と特徴づけに関する基本定理を証明した。それは本「Ricci-flat Kahler計量の幾何学と解析学」に発表予定である。

Research Products

• [Publications] Y.Itokawa&R.Kobayashi: "Minimizing, currents in Open Manifolds and the n-1 Homology of Nonnegatively Ricci curved Manifolds"Amer,J.Math. 121. 1253-1278 (1999)
• [Publications] R.Kobayashi: "Holomorphic Curves in Abelian Varieties-the Second Maintheorern and Applications"Japanese J.Math. 26-1. 1-22 (2000)
• [Publications] M.Henmi&R.Kobayashi: "Hooke's Law in Statisfical Manifolds and Divergences"Nagoya Math.J.. (印刷中).
• [Publications] H.Azad&R.Kobayashi: "Ricci-Flat Kahler Motris on Symmetric Varieties"Nagoya Math.J.. (印刷中).
• [Publications] 小林亮一: "Ricci-Flat Kahler計量の幾何学と解析学"培風館(出版予定).
• [Publications] R.Kobayashi: "Geometry and Analysi of Ricci-Flat Kahle Metrics"Vieweg Verlag(出版予定).