2011 Fiscal Year Annual Research Report
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11J00168
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
金子 元 日本大学, 理工学部, 特別研究員(PD)
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| Keywords | 一様分布論 / 正規数 / 小数部分 / 集積点 / 等比数列 / 代数的数 / ベキ級数 / 代数的独立 |
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| Research Abstract |
実数のb進展開に現れるdigitの分布の研究を昨年から行った。代数的無理数はb進展開において正規数、すなわちdigitが均等に現れるというEmile Borelの予想がある。この予想に対するアプローチとして、代数的無理数のb進展開においてdigitがどのような頻度で変化をするかに関する研究がある。Digitの変化数を下から評価することは、代数的無理数のb進展開におけるdigitがランダムであることの証拠を与える。そのことをふまえ、Signed digit expansionと呼ばれる暗号理論の手法を応用することにより、digitの変化数の下からの評価式について先行結果を改良した。昨年度から開始したこのdigit変化数に関する研究について、昨年度に発表した結果を改良し、論文にまとめた上で投稿した。現在論文は審査中である。また、p進数体においても実数の代数的無理数と類似の結果が成立することを証明した。
実数のb進展開の応用として、実数の超越性及び代数的独立性の理論がある。これらの理論は、有理近似理論において種々の評価を行う上で必要である。実数のb進展開におけるdigit分布の研究を応用することにより、ベキ級数およびその導関数における特殊値の代数的独立性の判定法を構成した。
フランスのSt Etienne大学において正標数の関数体における代数的独立性の判定法を構成した。Mahlerの方法と呼ばれる実数における代数的独立性の手法を拡張することにより、正標数における代数的独立性の判定法を構成した。その応用例として、正標数においてL関数のある特殊値が代数的独立であることを証明することに成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
筆者の研究は、Borel予想と呼ばれる正規数に関する問題である。この予想に対する先行結果は部分空間定理などの手法によるものであった。Signed digit expansionとよばれる数系を応用することにより、Borel予想に対する先行結果を大幅に改良することに成功したことが理由である。また応用として、研究が難しいとされてきたベキ級数及びその導関数の有理点における値の代数的独立性を証明することができたことも理由である。
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| Strategy for Future Research Activity |
等比数列の小数部分を研究することは、実数の有理近似に応用があり、整数論の発展に役立つと考えられる。今後は代数的数を公比に持つ等比数列の小数部分の大きさを研究する。数式処理ソフトにより数値実験を行うことで、小数部分の分布に関する予測を行う。特に、数値実験で得られた予測を用いることにより、等比数列の小数部分の列における最大集積点及び最小集積点に関する先行結果を改良及び一般化することを目標とする。また、等比数列の小数部分の研究で得られた結果を、実数の代数的独立性の判定法に応用することを目指す。代数的独立性の理論を研究することは、有理近似理論における種々の評価への応用を持つと考えられる。
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