量子ホワイトノイズと非線形無限次元解析

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12440036
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 尾畑 伸明 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (10169360)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 齊藤 公明 名城大学, 理工学部, 教授 (90195983) ; 千代延 大造 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助手 (50197638) ; 青本 和彦 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (00011495) ; 田崎 秀一 早稲田大学, 理工学部, 助教授 (10260150) ; 有光 敏彦 筑波大学, 物理学系, 教授 (50134200)
• Keywords: ホワイトノイズ理論 / 量子確率論 / 量子ホワイトノイズ / 散逸量子系 / 伊藤公式 / 複素スペクトル / レヴィラプラシアン / 量子中心極限定理

Research Abstract

無限次元解析・量子確率(IDAQP)の立場から理論的展開を図るとともに、散逸系の物理学などへの応用を見据えた形で研究セミナー・研究集会・外国人招聘を核とした共同研究を実施した。主要な研究項目は次の通り。
1.正規積ホワイトノイズ方程式。これは、量子ホワイトノイズの定式化によって、従来の伊藤型方程式を著しく拡張したものである。その解の存在・一意性・滑らかさは、ホワイトノイズ超関数空間に荷重付フォック空間による階層を導入することで詳しく議論された。非線型方程式も含む一般的な解の存在定理も証明された。
2.ホワイトノイズの高次冪とレヴィラプラシアン。特に、ホワイトノイズの2乗については、レヴィラプラシアンに付随する熱方程式の解を記述することが発見された。付随する確率過程の構成やくりこみなど新しい課題が続出した。
3.複素ホワイトノイズ。ホワイトノイズ作用素のシンボルによるユニタリ性の判定条件が得られた。これを用いて、正規積ホワイトノイズ方程式の解がユニタリになる必要十分条件が与えられ、ホワイトノイズの2乗は、物理でいう「異なる真空」を結び付けていることが示唆された。
4.物理への応用。ホワイトノイズの高次巾は数学的産物としてだけではなく、ある種の物理モデルに潜在していると考えられる。ミクロ系からマクロ系への移行を正準演算形式によって扱う非平衡熱場力学(NETFD)を発展させた。それによって、散逸過程を記述する種々の方程式の相互関係が一貫した体系の下で明らかにされた。
5.代数的確率論からの視点。新しい独立性の概念である「シングルトン独立性」に付随する中心極限定理を相互作用フォック空間を用いて証明した。これによって、離散グラフ上の隣接作用その量子分解という概念に到達し、生成・消滅作用素の類似物の重要性とガウス・ポワソン対応に新しい視点が与えられた。

Research Products

• [Publications] N.Obata,D.M.Chung,U.C.Ji: "Normal-ordered white noise differential equations I : Existence of solutions as Fock space operators"Trends in Contemporary Infinite Dimensional Analysis(L.Accardi et al Eds.). 115-135 (2000)
• [Publications] N.Obata,U.C.Ji: "Initial value problem for white noise operators and quantum stochastic processes"Infinite Dimensional Harmonic Analysis (H.Heyer,T.Hirai,N.Obata Eds.). 203-216 (2000)
• [Publications] N.Obata: "A note on coherent state representations of white noise operators"Quantum Information(T.Hida,K.Saito Eds). 2. 135-147 (2000)
• [Publications] N.Obata: "Coherent state representations in white noise"Can.Maht.Soc.Proc.Series. (in press).
• [Publications] K.Aomoto: "Integrable system of the heat kernel associated with loqarithmic potentials"Annales Polonici Matematici. (in press).
• [Publications] K.Saito,A.Tsoi: "Stochastic processes generated by functions of the Levy Laplacian"Quantum Information. 2. 183-194 (2000)
• [Publications] K.Saito: "The Levy Laplacian and stochastic processes"Infinite Oimensional Harmonic Analysis(H.Heyer,T.Hirai,N.Obata Eds.). 306-318 (2000)
• [Publications] K.Saito: "A stochastic process generated by the Levy Laplacian"Acta Appl.Math.. (in press).
• [Publications] K.Saito,D.M.Chung,U.C.Ji: "Notes on a CO-group generated by the Levy Laplacian"Proc.Amer.Math.Soc.. (in press).
• [Publications] T.Arimitsu N.Armitsu: "Analysis of fully developed trubulence in terms of Tsallis statistics"Phys.Rev.E. 61. 3237-3240 (2000)
• [Publications] T.Arimitsu N.Arimitsu: "An application of NETFD to the system of a localized electron and photons"Condensed Matter Physics. 3. 103-132 (2000)
• [Publications] T.Arimitsu N.Arimitsu: "Tsallis statistics and fully developed.turbulence"J.Phys.A.Math.Gen.. 34. 235-241 (2001)
• [Publications] L.Accardi,N.Obata, et al(編著): "Trends in Contemporary Infinite Dimensional Analysis and Quantum Probability"Instituto Italiano di Cultura,Kyoto. 484 (2000)
• [Publications] H.Heyer,T.Hirai,N.Obata(編著): "Infinite Dimensional Harmonic Analysis"D.+M.Grabner,Tubingen. 387 (2000)
• [Publications] K.saito,T.Hida(編著): "Quantum Information II"World Scientific. 227 (2000)
• [Publications] 田崎秀一: "カオスから見た時間の矢"講談社. 254 (2000)