2001 Fiscal Year Annual Research Report
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12440042
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| Research Institution | Ehime University |
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Principal Investigator |
坂口 茂 愛媛大学, 理学部, 教授 (50215620)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
池畠 優 群馬大学, 工学部, 教授 (90202910)
橋本 貴宏 愛媛大学, 理学部, 助手 (60291499)
柳 重則 愛媛大学, 理学部, 助教授 (10253296)
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| Keywords | 熱方程式 / ホットスポット / 等温面 / 空間臨界点 / 初期斉次デリクレ問題 / 球面 / 対称性 |
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| Research Abstract |
1.熱方程式の解の等温面に関して、Klamkin (1964)の予想があった。ユークリッド空間の有界領域Ωにおいて初期斉次デリクレ問題を考え、初期値として正定数を与えるとき、この予想は、『もし各時刻で等温面たちが、全体として時刻について不変ならば、Ωは球に限る。』というものであったが、これはAlessandrini (1990)によって肯定的に解決された。そこで、一つの等温面が時刻について不変であるときどのようなことが起こっているかという問題が生ずる。このことについて、上記の初期斉次デリクレ問題において、有界領域Ωが外部球面条件を満たし、Ωの真部分領域Dが内部円錐条件をみたすとき、『もし∂Dが時刻について不変な等温面であるならば、Ωは球に限る。』という定理を得た。これは前年度に得たΩが凸領域である場合の最終的な一般化に当たる。
2.熱方程式の解のホットスポット(各時刻において解の最大値を与える点)に関して、ChamberlandとSiegel (1997)の予想がある。ユークリッド空間の原点を含む有界凸領域Ωにおいて初期斉次デリクレ問題を考え、初期値として正定数を与えるとき、その予想は、『もし原点が常にホットスポットならば、領域Ωは、直交群のあるessentialな部分群Gの作用について不変である。』というものである。この予想について、一般の有界領域Ωにおいて原点が常にホットスポットであるための新しい必要条件を与えた。これは原点を中心とした領域Ωの内接球面とその接点の集合と接点での∂Ωの主曲率に関する幾何学的な条件である。
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