| Research Abstract |
積年の懸案である、正標数pの体上の単純代数群Gの既約指標を記述するLusztig予想は,近年,柏原-谷崎,Kazhdan-Lusztig, Andersen-Jantzen-Soergelに依り,有限個のpを除いては解決されたが,除外されたpの集合が未だ何か分かっていない。
上記の解決の仕方は,正標数の単純代数群GのFrobenius kernel G_1に,Gのmaximal torus Tを付け加えたG_1Tの加群の圏を,1のpべき根を有理数体に添加した体上に定義された,対応する量子群の加群の圏に関係付け更に,それをaffine Kac-Moody Lie環上の加群の圏を通して,対応する無限次元flag varietyのD加群の圏に持っていって解決を計るのであるが,最初の,G_1Tから量子群への移行が,標数の違いが障害となって十全には旨くっていない。そこへ今初夏,Bezrukavnikov, MirkovicとRumyninはcrystalline differential operator ring Dを導入し,GのLie代数のある有限型加群の圏と,D上の対応するcoherent modulesの圏との間にderived equivalenceがあり,更に後者は,対応するSpringer fiber上のcohent sheavesの圏との間にequivalenceがあることを示した。この方法は,正標数内に留まって幾何学的に議論を展開しており,今後の展開が嘱望される。従って,当科研費を使って,Rumyninを大阪市立大学へ招請し親しく議論が出来たことは,非常に有意義であった。
内藤との共同研究では,内藤の一連のtwining character formulasをDemazure modules上で得た。これは,Schubert schemesとそのdesingularizations上でのequivariant cohomologyの応用である。
上記,Dに対応する量子環は,De Concini-Kac型のものであり,この上での表現論の研究も中島俊樹とはじめた。
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