アーベル方程式の構成とガウス和の数論研究

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12640047
• Research Institution: Waseda University
• Principal Investigator: 橋本 喜一朗 早稲田大学, 理工学部, 教授 (90143370)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 梅垣 敦紀 早稲田大学, 理工学部, 助手 (60329109) ; 小松 啓一 早稲田大学, 理工学部, 教授 (80092550)
• Keywords: アーベル方程式 / ガウス和 / ガロア群 / 巡回方程式 / Kummer拡大 / ガウス周期 / 周期方程式 / ガロアの逆問題

Research Abstract

与えられた代数体K上にアーベル拡大がどのように存在するか,という問題は「類体論」によって解決済みであるが,Kのアーベル拡大を具体的に構成する問題は1800年にHilbertの提唱した23の問題のうち第12番めの問題であり,現在でも数論の中心的な課題の一つである.本研究は,「・ガロアの逆問題に体する構成的方法」の立場からこの問題に取り組み,アーベル方程式を構成する一般的メカニズムを得ることを目標とする.まずガロア群が巡回群である場合に焦点を絞って研究を進めた.
1.Kが1の原始n乗根ζ_nを含む場合,K上のn次巡回拡大はKummer拡大によって尽くされる.nが奇数の場合,これまでの研究で,より緩い条件ω_n:=ζ_n+ζ_n^<-1>∈KのもとでK上のn次巡回拡大を尽くす(生成的)巡回方程式の族が得られている.今回の研究では,nが偶数の場合にも2個のパラメータを持つ簡明な(生成的)巡回方程式の族を構成する,という結果を得た.
2.逆に,Q上の巡回方程式として基本的である「ガウス周期」の既約方程式を各次数について計算機を用いて数値的に計算し,その性質を組織的に調べた.すなわち,l=3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13の各々に対してp≡1(mod l)をみたす素数p<3000について,次数lのガウス周期η_jがみたす周期方程式F_l(p;X)を計算機を用いて決定し,その振舞いを徹底的組織的に調べ,その数論的構造を研究した.その結果,l=5,7については,周期方程式F_l(p;X)の係数に著しい規則性を見い出した.これを正確に定式化し,理論化し証明を与えること,および更に一般のlについても同様な研究を進めることが今後の課題である.
3.またQ上のl次巡回拡大の全体の集合の数論的「モジュライの構造」とFermat曲線F_l:X^l+Y^F=Z^lの関係を調べた.

Research Products

• [Publications] Ki-ichiro Hashimoto: "Generic families of quintic polynomials with Dihedral Galois Group of degree 5"第45回代数学シンポジウム報告集15-23. 45. 15-23 (2000)
• [Publications] Ki-ichiro Hashimoto: "二面体群に対するガロア逆問題,"数理解析研究所講究録. 1154. 125-136. (2000)
• [Publications] Ki-ichiro Hashimoto: "On Brumer's family of RM-curves of genus two,"Tohoku Math.J.52. 52. 475-488. (2000)
• [Publications] Atsuki Umegaki,Naoki Murabayashi: "Determination of all Q-rational CM-points in the moduli space of principally polarized abelian surfaces,"J.Algebra 235-1. 235-1. 267-274 (2001)
• [Publications] Atsuki Umegaki: "Determination of all Q-rational CM-points in the moduli space of polarized abelian surfaces,"Analytic Number Theory (2001), Kluwer. (to appear).
• [Publications] Ki-ichiro Hashimoto: "別冊「数理科学:数論の歩み」"サイエンス社(2000). 212 (2000)