アーベール方程式の構成とガウス和の数論研究

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12640047
• Research Institution: Waseda University
• Principal Investigator: 橋本 喜一朗 早稲田大学, 理工学部, 教授 (90143370)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 梅垣 敦紀 上智大学, 理工学部, 助手 (60329109) ; 小松 啓一 早稲田大学, 理工学部, 教授 (80092550)
• Keywords: アーベール方程式 / ガロアの逆問題 / ガウス周期 / 巡回多項式 / Lehmerプロジェクト / ガロア群 / 周期方程式 / 巡回拡大

Research Abstract

本研究の課題は,「ガロアの逆問題に対する構成的方法」の立場からアーベル方程式を構成する一般的メカニズムを得ることを目標とするものであるが、特にガロア群が巡回群である場合に焦点を絞って研究を進めた.
2000-2002年度基盤C(一般)「アーベル方程式の構成とガウス和の数論研究」において,申請者は学院生(修士)星明考君と共同研究で,ガウス周期の関係式の一部を幾何的に一般化し,多変数関数体上の巡回多項式族の構成を行った.本研究はその継続研究であり,ガウス周期の満たすある基本関係式を公理として関数体上で類似物を構成するという幾何的一般化を行ない,これによりガウス周期の既約多項式から巡回多項式族が得られるしくみを明らかにし,パラメータの個数も複数個に増やすことに成功した.すなわちガウス周期y_0,..,y_{e-1}をe個の独立な不定元とみなすと,基本関係式から関数体L=Q(y_0,..,y_(e-1))に成分を持つ行列Cが得られ,これらを全て添加した体K=Q(c_{i,j})は巡回置換によるLの固定体となる.これよりL/Kはe次巡回拡大であり,Cの特性多項式の根体となる.このアイデアに基づいて小さなeに対してパラメータ付きe次巡回多項式族が得られた.
特に,この構成から得られた巡回多項式族のパラメータを特殊化し,e=7おいて定数項がn^7である簡単な表示をもっパラメータの族を得た.この結果はLehmerプロジェクトとして知られている研究の一般化を与えるもので,総実代数体の巡回拡大の単数の構成問題などに重要な研究方法を提供するものである.
本研究の成果は2002年度春の日本数学会及び早稲田大学整数論シンポジウムを含む幾つかの研究集会で講演発表された.この研究を更に高次の場合に進展させることは重要な課題である.

Research Products

• [Publications] K.Hashimoto, Y.Rikuna: "On Generic Families of Cyclic Polynomials with even Degree"Manuscripta Mathematica. 107. 283-288 (2002)
• [Publications] K.Hashimoto: "Q-curves of rational j-invaritants and Jacobian surface of GL2-type"Proceedings of Conferences on Galois Theory and Modular Forms(Kluver). 36-61 (2003)
• [Publications] T.Fukuda, K.Komatsu: "An Application of Siegel modular functions to Kronecker's limit formula"LNCS. 2369. 108-119 (2002)
• [Publications] 橋本 喜一朗, (他9名): "数学七つの未解決問題"森北出版. 201 (2002)