USD列の基礎理論の構築とRees環の環構造の解明に関する研究

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12640051
• Research Institution: Himeji Dokkyo University
• Principal Investigator: 山岸 規久道 姫路獨協大学, 経済情報学部・経営情報学科, 教授 (10200601)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 川崎 健 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 助手 (40301410) ; 西田 康二 千葉大学, 大学院・自然科学研究科, 助教授 (60228187)
• Keywords: USD列 / Rees環 / 拡大Rees環 / 随伴次数付き環 / Buchsbaum環 / I-invariant / 漸近的性質 / 極小重複度

Research Abstract

今年度は、本共同研究(四年間)の後半三年目に入り、昨年度までの研究成果を踏まえ、次の三つの研究テーマについて基礎的な成果を納めることを目標とした。(1)USD列の基礎理論を整備すること;(2)fiber加群のBuchsbaum性に関する研究において、これまでに得た研究成果を更に発展させること;そして、(3)Rees環のBuchsbaum性に関する研究においては何らかの制約条件が課せられているが、その中で特にreduction数が高々1であるとの制約を可能な限り緩和し、議論をより簡素化すること、である。
(1)については幸いにして満足すべき成果を上げることが出来た。すなわち、与えられた列がUSD列であるためには、定義ではその列のべき乗が「すべての」自然数について無条件d列であることが要求されているが、他の列性質との関係を精査した結果「2乗までで十分」であることが分かり、USD列であるか否かの判定を無限の基準から有限のものへと改善することができた。また、USD列と無条件強\a-弱正則列との同値性も判明した。これらはUSD列の基礎を強固にする知見であり、一層実用性を高める点で画期的な成果であると思われる。しかし、(2)と(3)については、問題の理解はこれまで以上かなり深まったが、議論の展開は年度当初の予想よりかなり緩慢なもので満足すべき成果を得るには至らなかった。これらは来年度も引き続き取り組むべき最重要の研究課題であるとの考えを新たにした。
一方、今年度当初の研究計画では予想していなかった事でありながら、幸いにして極めて重要な研究成果を得ることが出来たのは、拡大Rees環の(広い意味での)Buchsbaum性に関する研究である。これは随伴次数付き環のBuchsbaum性を研究する過程でその議論を発展させる内に発見した事柄であるが、拡大Rees環をRees環上の加群とみると、もちろんそれは有限生成加群ではないのにも関わらず、広い意味でBuchsbaum性を有すると思われる振る舞いを見せる、と言うものである。この事実の数学上の意義を現段階では必ずしも十分には把握してはいないが、この点の解明は次年度の研究課題として極めて重要であるとの認識を得た。

Research Products

• [Publications] 山岸規久道: "Buchsbaumness in Rees modules associated to ideals of minimal multiplicity in the equi-I-invariant case"Journal of Algebra. 251. 213-255 (2002)
• [Publications] 山岸規久道: "Some results on Buclisbauminess in the extended Rees algebras"第24回可換環論シンポジウム報告集. 24. 131-135 (2002)
• [Publications] 山岸規久道: "無条件強d列と他の列性質との関係"姫路獨協大学経済情報学会経済情報学論集. 17. 217-230 (2003)
• [Publications] 山岸規久道: "Asymptotic property of the I-invariant of the associated graded modules"Communications in Algebra. 31. 1031-1043 (2003)