種々の幾何構造を持つ多様体上のワイル共形不変性とその不変量の消滅に関する研究

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12640082
• Research Institution: Department of Mathematics, Tokyo Metropolitan University
• Principal Investigator: 神島 芳宣 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (10125304)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): MARTIN Guest 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (10295470) ; 岡 睦雄 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (40011697) ; 大仁田 義裕 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (90183764) ; 今井 淳 東京都立大学, 理学研究科, 助教授 (70221132)
• Keywords: QCC-strutme / spherical CR 幾何 / 展開写像 / ホロノミー群 / Uniformization / C-M曲率テンサー / 4元数双曲幾何 / Parobolic幾何

Research Abstract

(4n+3)次元多様体上の幾何構造(Quaterninic Carnot-Caratheodory構造とよぶ)を定義してWeylの共形性に対応する不変量とその一意化(uniformization)を与えた.この発想は奇数次元多様体上のCR-構造のときの一般化になっている.そして,CR-構造のときに,Chern-Moser曲率形式がその不変量であって消滅はSpherical CR-幾何を実現するという事実に注目して,Quaterninic Carnot-Caratheodory構造においても不変量としての曲率形式を構成し,その消滅により多様体M^<4n+3>はSpherical pseudo-quaternionic幾何(PSp(n+1,1),S^<4n+3>)に一意化されることをみた.従って,M^<4n+3>の普遍被覆空間はS^<4n+3>へ展開され,基本群はPSp(n+1,1)へ表現される.Spherical CR-多様体のときの結果をふまえて,Spherical pseudo-quaternionic多様体の特徴付けに成功した(特に基本群,ホロノミー群の非存在に関する特徴).このSpherical pseudo-quaternionic幾何学は階数1の半単純対称空間のコンパクト化として得られる,つまり四元数双曲空間とそのisometry群(PSp(n+1,1),H^<n+1>_H)は自然にその境界である球面S^<4n+3>にsmoothな作用として拡張し,群PSp(n+1,1)は球面S^<4n+3>に推移的に作用するためその作用をAut_<QC>(S^<4n+3>)と書いて,幾何学(Aut_<QC>(S^<4n+3>),S^<4n+3>)が実現される.我々の構成した曲率形式(テンサー)TはQuaterninic Carnot-Caratheodory構造に対して共形不変であることを示した.そしてその消滅によるSpherical pseudo-quaternionic幾何学への一意化はWey1共形曲率テンサー,Chem-Moser曲率テンサーの消滅がそれぞれ共形多様体,CR多様体を共形平坦多様体,Spherical CR多様体にすることと対応し,実,複素,四元数双曲幾何の等長変換の境界挙動(作用)がそれぞれ共形変換,CR変換,Pseudo-quaternionic変換であると特徴づけることができ,階数1の半単純対称空間のコンパクト化としての境界の上の共形幾何学(Parabolic幾何学)を構成することに成功した.

Research Products

• [Publications] 神島芳宣: "Note on locally conformal kahlen surfaces"Geom. Dedicata. 84. 115-124 (2001)
• [Publications] 神島芳宣: "Rigidity of Obata-Ferrand's type on Compact on Kahler L.C.K manifold"数理研講究録. 1223. 69-79 (2001)